प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$ कहाँ अपरिभाषित है.

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 2

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी अनंत असंबद्धता वाले क्षेत्रों में पाए जाते हैं.

कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 3

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 4

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 3$

$m = 2$

चरण 5

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 6

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{x^{2} + 2}$

चरण 6.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 2}$

चरण 6.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{x^{2} + 2}$

चरण 6.1.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2

$(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.6

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.7

$x$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.8

$x$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.9

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.10

$- 1$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.11

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.13

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.14

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.15

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.16

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.17

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.18

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.19

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.20

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.21

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.22

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.23

$x$ ले जाएं.

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.24

$- x^{2}$ ले जाएं.

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.25

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.26

$x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.27

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.2.28

$x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.3

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

चरण 6.4

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

चरण 6.5

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$2 x$

चरण 6.6

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 0 + 2 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$2 x$

चरण 6.7

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$2 x$

चरण 6.8

मूल भाज्य से अगले पद को वर्तमान लाभांश में नीचे खींचें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$2 x$

$1$

चरण 6.9

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$x + \frac{- 2 x + 1}{x^{2} + 2}$

चरण 6.10

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = x$

चरण 7

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = x$

चरण 8