प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - \frac{4}{3}, x = \frac{1}{2}$

चरण 2

चूँकि $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $- \infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $- \frac{4}{3}$ और $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $- \frac{4}{3}$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = - \frac{4}{3}$

चरण 3

चूँकि $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $- \infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ और $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = \frac{1}{2}$

चरण 4

सभी ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी की सूची बनाएंं:

$x = - \frac{4}{3}, \frac{1}{2}$

चरण 5

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 6

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 5$

$m = 2$

चरण 7

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 8

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ है और जिसका योग $b = 5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1.1

$5 x$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 (x) - 4}$

चरण 8.1.1.2

$5$ को $- 3$ जोड़ $8$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + (- 3 + 8) x - 4}$

चरण 8.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} - 3 x + 8 x - 4}$

चरण 8.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{(6 x^{2} - 3 x) + 8 x - 4}$

चरण 8.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{3 x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}$

चरण 8.1.3

महत्तम समापवर्तक, $2 x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{(2 x - 1) (3 x + 4)}$

चरण 8.2

$(2 x - 1) (3 x + 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x + 4) - 1 (3 x + 4)}$

चरण 8.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x + 4)}$

चरण 8.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

चरण 8.2.4

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x \cdot (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

चरण 8.2.5

$x$ ले जाएं.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

चरण 8.2.6

$x$ ले जाएं.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

चरण 8.2.7

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

चरण 8.2.8

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x \cdot x + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

चरण 8.2.9

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

चरण 8.2.10

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

चरण 8.2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{1 + 1} + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

चरण 8.2.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

चरण 8.2.13

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

चरण 8.2.14

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 3 x - 1 \cdot 4}$

चरण 8.2.15

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 3 x - 4}$

चरण 8.2.16

$8 x$ में से $3 x$ घटाएं.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

चरण 8.3

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

चरण 8.4

भाज्य $6 x^{5}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $6 x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

चरण 8.5

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

चरण 8.6

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $6 x^{5} + 5 x^{4} - 4 x^{3}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

चरण 8.7

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

चरण 8.8

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

चरण 8.9

भाज्य $- 5 x^{4}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $6 x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

चरण 8.10

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

चरण 8.11

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 5 x^{4} - \frac{25 x^{3}}{6} + \frac{10 x^{2}}{3}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

चरण 8.12

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

चरण 8.13

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

चरण 8.14

भाज्य $\frac{49 x^{3}}{6}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $6 x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

चरण 8.15

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

चरण 8.16

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $\frac{49 x^{3}}{6} + \frac{245 x^{2}}{36} - \frac{49 x}{9}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

चरण 8.17

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

चरण 8.18

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

चरण 8.19

भाज्य $- \frac{509 x^{2}}{36}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $6 x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

चरण 8.20

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

चरण 8.21

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- \frac{509 x^{2}}{36} - \frac{2545 x}{216} + \frac{509}{54}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

चरण 8.22

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

$\frac{3721 x}{216}$

$\frac{239}{54}$

चरण 8.23

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216} + \frac{\frac{3721 x}{216} - \frac{239}{54}}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

चरण 8.24

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216}$

चरण 9

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - \frac{4}{3}, \frac{1}{2}$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216}$

चरण 10