प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 8 x^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

चरण 1

$f (x) = 8 x^{5}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = 8 x^{5}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = 8 y^{5}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $8 y^{5} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 y^{5} = x$

चरण 3.2

$8 y^{5} = x$ के प्रत्येक पद को $8$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$8 y^{5} = x$ के प्रत्येक पद को $8$ से विभाजित करें.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

चरण 3.2.2.1.2

$y^{5}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{5} = \frac{x}{8}$

चरण 3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8}}$

चरण 3.4

$\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ को $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$

चरण 3.4.2

$\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ को $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

चरण 3.4.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ को $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

चरण 3.4.3.2

$\sqrt[5]{8}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

चरण 3.4.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

चरण 3.4.3.4

$1$ और $4$ जोड़ें.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

चरण 3.4.3.5

${\sqrt[5]{8}}^{5}$ को $8$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.5.1

$\sqrt[5]{8}$ को $8^{\frac{1}{5}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

चरण 3.4.3.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

चरण 3.4.3.5.3

$\frac{1}{5}$ और $5$ को मिलाएं.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

चरण 3.4.3.5.4

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

चरण 3.4.3.5.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

चरण 3.4.3.5.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

चरण 3.4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

${\sqrt[5]{8}}^{4}$ को $\sqrt[5]{8^{4}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

चरण 3.4.4.2

$8$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4096}}{8}$

चरण 3.4.4.3

$4096$ को $4^{5} \cdot 4$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.3.1

$4096$ में से $1024$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

चरण 3.4.4.3.2

$1024$ को $4^{5}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

चरण 3.4.4.4

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

चरण 3.4.4.5

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{8}$

चरण 3.4.5

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

$4$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1.1

$4 \sqrt[5]{x \cdot 4}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{x \cdot 4})}{8}$

चरण 3.4.5.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1.2.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

चरण 3.4.5.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

चरण 3.4.5.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$

चरण 3.4.5.2

गुणनखंडों को $\frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$y = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

चरण 4

अंतिम उत्तर दिखाने के लिए $y$ को $f^{- 1} (x)$ से बदलें.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ , $f (x) = 8 x^{5}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (8 x^{5})$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5})}}{2}$

चरण 5.2.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$4$ को $8$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

चरण 5.2.3.2

$32 x^{5}$ को ${(2 x)}^{5}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

चरण 5.2.3.3

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

चरण 5.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

चरण 5.2.4.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})$ का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})}^{5}$

चरण 5.3.3

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ पर लागू करें.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 x}}^{5}}{2^{5}})$

चरण 5.3.4

${\sqrt[5]{4 x}}^{5}$ को $4 x$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$\sqrt[5]{4 x}$ को ${(4 x)}^{\frac{1}{5}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}})$

चरण 5.3.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}})$

चरण 5.3.4.3

$\frac{1}{5}$ और $5$ को मिलाएं.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

चरण 5.3.4.4

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

चरण 5.3.4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

चरण 5.3.4.5

सरल करें.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

चरण 5.3.5

$2$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{32})$

चरण 5.3.6

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.6.1

$32$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 (4)})$

चरण 5.3.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 \cdot 4})$

चरण 5.3.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

चरण 5.3.7

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

चरण 5.3.7.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ , $f (x) = 8 x^{5}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$