प्री-कैलकुलस उदाहरण

$r (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - 2, x = 2$

चरण 2

चूँकि $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $- 2$ और $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $- 2$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = - 2$

चरण 3

चूँकि $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $2$ और $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $2$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = 2$

चरण 4

सभी ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी की सूची बनाएंं:

$x = - 2, 2$

चरण 5

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 6

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 3$

$m = 2$

चरण 7

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 8

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$x^{3} + 3 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1.1

$x^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$

चरण 8.1.1.2

$3 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}{x^{2} - 4}$

चरण 8.1.1.3

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (x + 3)}{x^{2} - 4}$

चरण 8.1.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} (x + 3)}{x^{2} - 2^{2}}$

चरण 8.1.2.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 2$ .

$\frac{x^{2} (x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

चरण 8.2

$x^{2} (x + 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}{(x + 2) (x - 2)}$

चरण 8.2.2

$x^{2}$ और $3$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

चरण 8.2.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

चरण 8.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{2 + 1} + 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

चरण 8.2.5

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

चरण 8.3

$(x + 2) (x - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x (x - 2) + 2 (x - 2)}$

चरण 8.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}$

चरण 8.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}$

चरण 8.3.4

$x$ और $- 2$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

चरण 8.3.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

चरण 8.3.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

चरण 8.3.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

चरण 8.3.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

चरण 8.3.9

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x - 4}$

चरण 8.3.10

$- 2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} + 0 - 4}$

चरण 8.3.11

$0$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$

चरण 8.4

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 8.5

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 8.6

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

चरण 8.7

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 0 - 4 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

चरण 8.8

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

चरण 8.9

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

चरण 8.10

भाज्य $3 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

चरण 8.11

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$12$

चरण 8.12

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x^{2} + 0 - 12$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$12$

चरण 8.13

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$12$

$4 x$

$12$

चरण 8.14

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$x + 3 + \frac{4 x + 12}{x^{2} - 4}$

चरण 8.15

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = x + 3$

चरण 9

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - 2, 2$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = x + 3$

चरण 10