प्री-कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - \sqrt{3}, x = \sqrt{3}$

चरण 2

चूँकि $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ और $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = - \sqrt{3}$

चरण 3

चूँकि $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ और $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = \sqrt{3}$

चरण 4

सभी ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी की सूची बनाएंं:

$x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

चरण 5

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 6

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 3$

$m = 2$

चरण 7

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 8

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$- x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) + 3}$

चरण 8.1.2

$3$ को $- 1 (- 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) - 1 (- 3)}$

चरण 8.1.3

$- (x^{2}) - 1 (- 3)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2} - 3)}$

चरण 8.1.4

ऋणात्मक रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.4.1

$- (x^{2} - 3)$ को $- 1 (x^{2} - 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- 1 (x^{2} - 3)}$

चरण 8.1.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{x^{2} - 3}$

चरण 8.2

$- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

नकारें $2 x^{3} + 4 x^{2} - 9$ .

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)}{x^{2} - 3}$

चरण 8.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

चरण 8.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

चरण 8.2.4

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

चरण 8.2.5

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

चरण 8.2.6

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

चरण 8.2.7

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

चरण 8.2.8

$- 1$ को $- 9$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

चरण 8.3

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

चरण 8.4

भाज्य $- 2 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

						-	$2 x$
	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$

चरण 8.5

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

$2 x^{3}$

$0$

$6 x$

चरण 8.6

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 2 x^{3} + 0 + 6 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$

चरण 8.7

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

चरण 8.8

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

चरण 8.9

भाज्य $- 4 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

चरण 8.10

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	+	$12$

चरण 8.11

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 4 x^{2} + 0 + 12$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$

चरण 8.12

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$
									-	$6 x$	-	$3$

चरण 8.13

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$- 2 x - 4 + \frac{- 6 x - 3}{x^{2} - 3}$

चरण 8.14

हल को बहुपद भाग और शेष भाग में विभाजित करें.

$- 2 x - 4 + \frac{6 x + 3}{- x^{2} + 3}$

चरण 8.15

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = - 2 x - 4$

चरण 9

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = - 2 x - 4$

चरण 10