प्री-एलजेब्रा उदाहरण

$\frac{3 m^{2} (m + 4)}{(m + 3) (m - 5)}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - 3, x = 5$

चरण 2

चूँकि $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $- 3$ और $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $- 3$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = - 3$

चरण 3

चूँकि $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $5$ और $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $5$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = 5$

चरण 4

सभी ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी की सूची बनाएंं:

$x = - 3, 5$

चरण 5

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 6

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 3$

$m = 2$

चरण 7

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 8

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$3 x^{3} + 12 x^{2}$ में से $3 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1.1

$3 x^{3}$ में से $3 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 x^{2} (x) + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

चरण 8.1.1.2

$12 x^{2}$ में से $3 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

चरण 8.1.1.3

$3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)$ में से $3 x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

चरण 8.1.2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 2 x - 15$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 15$ है और जिसका योग $- 2$ है.

$- 5, 3$

चरण 8.1.2.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x - 5) (x + 3)}$

चरण 8.2

$3 x^{2} (x + 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4}{(x - 5) (x + 3)}$

चरण 8.2.2

$x^{2}$ ले जाएं.

$\frac{3 x^{2} x + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

चरण 8.2.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

चरण 8.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

चरण 8.2.5

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

चरण 8.2.6

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{(x - 5) (x + 3)}$

चरण 8.3

$(x - 5) (x + 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x (x + 3) - 5 (x + 3)}$

चरण 8.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 (x + 3)}$

चरण 8.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 x - 5 \cdot 3}$

चरण 8.3.4

$x$ और $3$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

चरण 8.3.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

चरण 8.3.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

चरण 8.3.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{1 + 1} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

चरण 8.3.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

चरण 8.3.9

$- 5$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 15}$

चरण 8.3.10

$3 x$ में से $5 x$ घटाएं.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

चरण 8.4

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 8.5

भाज्य $3 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 8.6

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

चरण 8.7

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x^{3} - 6 x^{2} - 45 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

चरण 8.8

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

चरण 8.9

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

चरण 8.10

भाज्य $18 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

चरण 8.11

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

चरण 8.12

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $18 x^{2} - 36 x - 270$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

चरण 8.13

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

$81 x$

$270$

चरण 8.14

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$3 x + 18 + \frac{81 x + 270}{x^{2} - 2 x - 15}$

चरण 8.15

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = 3 x + 18$

चरण 9

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - 3, 5$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = 3 x + 18$

चरण 10