प्री-एलजेब्रा उदाहरण

$f (x) = \frac{(2) (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

चरण 1

अनन्तस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x \leq 0$

चरण 1.2

चूँकि $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $0$ और $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $0$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = 0$

चरण 1.3

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट पता करने के लिए $lim_{x \to \infty} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

चरण 1.3.2

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

चरण 1.3.2.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.2.1.1

जैसे-जैसे $x$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

चरण 1.3.2.1.2.1.2

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$2 \frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

चरण 1.3.2.1.2.2

जैसे ही लघुगणक अनंत की ओर एप्रोच करता है, मान $\infty$ हो जाता है.

$2 \frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

चरण 1.3.2.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.2.3.1

एक गैर-शून्य स्थिरांक को अनंत से गुना करने पर परिणाम अनंत होता है.

$2 \frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

चरण 1.3.2.1.2.3.2

अनंत में कोई संख्या से जोड़ या घटाव करने पर परिणाम एक संख्या अनंत होती है.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

चरण 1.3.2.1.3

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

चरण 1.3.2.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

चरण 1.3.2.2

चूंकि $\frac{- \infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.2.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ है.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.2.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.2.3.4

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.4.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \ln (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.2.3.4.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.2.3.5

$0$ में से $\frac{1}{x}$ घटाएं.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 1.3.2.3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{2 x}$

चरण 1.3.2.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

चरण 1.3.2.5

गुणनखंडों को जोड़े.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.5.1

$\frac{1}{2 x}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x \cdot x}$

चरण 1.3.2.5.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x}$

चरण 1.3.2.5.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}$

चरण 1.3.2.5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

चरण 1.3.2.5.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{2}}$

चरण 1.3.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}$

चरण 1.3.3.2

$\frac{1}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

चरण 1.3.4

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

चरण 1.3.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1.1

$2 \cdot - 1$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 1) \frac{1}{2} \cdot 0$

चरण 1.3.5.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

चरण 1.3.5.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 \cdot 0$

चरण 1.3.5.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$0$

चरण 1.4

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट की सूची बनाएंं:

$y = 0$

चरण 1.5

लघुगणकीय और त्रिकोणमितीय फलनों के लिए कोई तिरछी अनंतस्पर्शी मौजूद नहीं है.

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 1.6

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = 0$

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट: $y = 0$

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = 0$

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट: $y = 0$

चरण 2

$x = 1$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = \frac{(2) (1 - \ln (1))}{{(1)}^{2}}$

चरण 2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$f (1) = \frac{2 (1 - 0)}{1^{2}}$

चरण 2.2.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$f (1) = \frac{2 (1 + 0)}{1^{2}}$

चरण 2.2.1.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1^{2}}$

चरण 2.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1}$

चरण 2.2.2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = \frac{2}{1}$

चरण 2.2.2.3

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (1) = 2$

चरण 2.2.3

अंतिम उत्तर $2$ है.

$2$

चरण 2.3

$2$ को दशमलव में बदलें.

$y = 2$

चरण 3

$x = 2$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{{(2)}^{2}}$

चरण 3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

${(2)}^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

चरण 3.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (2) = \frac{2 (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

चरण 3.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2)}{2}$

चरण 3.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ है.

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$

चरण 3.3

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$ को दशमलव में बदलें.

$y = 0.1534264$

चरण 4

$x = 3$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f (3) = \frac{(2) (1 - \ln (3))}{{(3)}^{2}}$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (3) = \frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

चरण 4.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ है.

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

चरण 4.3

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ को दशमलव में बदलें.

$y = - 0.02191384$

चरण 5

लघुगणक फलन को $x = 0$ पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी और $(1, 2), (2, 0.1534264), (3, - 0.02191384)$ बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ किया जा सकता है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & 0.153 \\ 3 & - 0.022 \end{array}$

चरण 6