प्री-एलजेब्रा उदाहरण

$x^{2} - y^{2} = - 1$

चरण 1

अतिपरवलय का मानक रूप पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के प्रत्येक पद पर चिन्ह को पलटें ताकि दायें ओर का पद धनात्मक हो जाएँ.

$- x^{2} + y^{2} = 1$

चरण 1.2

दाईं ओर $1$ के बराबर सेट करने के लिए समीकरण में प्रत्येक पद को सरल करें. दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मानक रूप के लिए समीकरण के दाएं पक्ष की ओर $1$ होना आवश्यक है.

$y^{2} - \frac{x^{2}}{1} = 1$

चरण 2

यह अतिपरवलय का रूप है. अतिपरवलय के शीर्ष और स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस रूप का उपयोग करें.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 3

इस अतिपरवलय के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $h$ मूल से x- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $k$ मूल से y- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

चरण 4

अतिपरवलय का केंद्र $(h, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. $h$ और $k$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$(0, 0)$

चरण 5

$c$ , केंद्र से नाभि तक दूरी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के केंद्र से नाभि तक की दूरी पता करें.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

चरण 5.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

चरण 5.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + 1}$

चरण 5.3.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\sqrt{2}$

चरण 6

शीर्ष बिंदु को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

अतिपरवलय का पहला शीर्ष $a$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + a)$

चरण 6.2

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, 1)$

चरण 6.3

अतिपरवलय का दूसरा शीर्ष $a$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - a)$

चरण 6.4

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, - 1)$

चरण 6.5

अतिपरवलय के शीर्ष $(h, k \pm a)$ के रूप का अनुसरण करते हैं. अतिपरवलय के दो शीर्ष होते हैं.

$(0, 1), (0, - 1)$

चरण 7

नाभियाँ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

अतिपरवलय का पहला फोकस $c$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + c)$

चरण 7.2

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, \sqrt{2})$

चरण 7.3

अतिपरवलय का दूसरा फोकस $c$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - c)$

चरण 7.4

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, - \sqrt{2})$

चरण 7.5

अतिपरवलय का फोकस $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ के रूप का अनुसरण करता है. अतिपरवलयों के दो फोकस होते हैं.

$(0, \sqrt{2}), (0, - \sqrt{2})$

चरण 8

उत्केंद्रता पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

चरण 8.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

चरण 8.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

चरण 8.3.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + 1}$

चरण 8.3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\sqrt{2}$

चरण 9

नाभीय मानदंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के फोकल पैरामीटर का मान पता करें.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

चरण 9.2

सूत्र में $b$ और $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

चरण 9.3.2

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

चरण 9.3.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

चरण 9.3.3.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

चरण 9.3.3.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

चरण 9.3.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

चरण 9.3.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 9.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 9.3.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

चरण 9.3.3.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 10

स्पर्शोन्मुख रूप $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ का अनुसरण करते हैं क्योंकि यह अतिपरवलय ऊपर और नीचे खुलता है.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

चरण 11

$1 \cdot x + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$1 \cdot x$ और $0$ जोड़ें.

$y = 1 \cdot x$

चरण 11.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$y = x$

चरण 12

$- 1 \cdot x + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$- 1 \cdot x$ और $0$ जोड़ें.

$y = - 1 \cdot x$

चरण 12.2

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - x$

चरण 13

इस अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं.

$y = x, y = - x$

चरण 14

ये मान अतिपरवलय के ग्राफ और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं.

केंद्र: $(0, 0)$

शीर्ष: $(0, 1), (0, - 1)$

फ़ॉसी: $(0, \sqrt{2}), (0, - \sqrt{2})$

उत्क्रेंद्रता: $\sqrt{2}$

फोकल पैरामीटर: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

अनंतस्पर्शी: $y = x$ , $y = - x$

चरण 15