प्री-एलजेब्रा उदाहरण

$x^{6} - 35 x^{3} + 216 = 0$

चरण 1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x^{6}$ को ${(x^{3})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(x^{3})}^{2} - 35 x^{3} + 216 = 0$

चरण 1.2

मान लीजिए $u = x^{3}$ . $x^{3}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$u^{2} - 35 u + 216 = 0$

चरण 1.3

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - 35 u + 216$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $216$ है और जिसका योग $- 35$ है.

$- 27, - 8$

चरण 1.3.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(u - 27) (u - 8) = 0$

चरण 1.4

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3}$ से बदलें.

$(x^{3} - 27) (x^{3} - 8) = 0$

चरण 2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{3} - 27 = 0$

$x^{3} - 8 = 0$

चरण 3

$x^{3} - 27$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x^{3} - 27$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{3} - 27 = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए $x^{3} - 27 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $27$ जोड़ें.

$x^{3} = 27$

चरण 3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $27$ घटाएं.

$x^{3} - 27 = 0$

चरण 3.2.3

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$27$ को $3^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} - 3^{3} = 0$

चरण 3.2.3.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = 3$ हैं.

$(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

चरण 3.2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.3.1

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) = 0$

चरण 3.2.3.3.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

चरण 3.2.4

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

चरण 3.2.5

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 3.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 3.2.6

$x^{2} + 3 x + 9$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1

$x^{2} + 3 x + 9$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

चरण 3.2.6.2

$x$ के लिए $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 3.2.6.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 3$ और $c = 9$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.2.6.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.2.3.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.2.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.2.6.2.3.1.2.2

$- 4$ को $9$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.2.6.2.3.1.3

$9$ में से $36$ घटाएं.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.2.6.2.3.1.4

$- 27$ को $- 1 (27)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.2.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.2.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.2.6.2.3.1.7

$27$ को $3^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.2.3.1.7.1

$27$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.2.6.2.3.1.7.2

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.2.6.2.3.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

चरण 3.2.6.2.3.1.9

$3$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 3.2.6.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

चरण 3.2.6.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

चरण 3.2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

चरण 4

$x^{3} - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x^{3} - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{3} - 8 = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए $x^{3} - 8 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$x^{3} = 8$

चरण 4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$x^{3} - 8 = 0$

चरण 4.2.3

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{3} - 2^{3} = 0$

चरण 4.2.3.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = 2$ हैं.

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

चरण 4.2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.3.1

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

चरण 4.2.3.3.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

चरण 4.2.4

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

चरण 4.2.5

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 4.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 4.2.6

$x^{2} + 2 x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.1

$x^{2} + 2 x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

चरण 4.2.6.2

$x$ के लिए $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 4.2.6.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 2$ और $c = 4$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.6.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.2.3.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.6.2.3.1.2.2

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.6.2.3.1.3

$4$ में से $16$ घटाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.6.2.3.1.4

$- 12$ को $- 1 (12)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.6.2.3.1.7

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.2.3.1.7.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.6.2.3.1.7.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.6.2.3.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.6.2.3.1.9

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

चरण 4.2.6.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

चरण 4.2.6.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

चरण 4.2.6.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

चरण 4.2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

चरण 5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x^{3} - 27) (x^{3} - 8) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$