प्री-एलजेब्रा उदाहरण

$15 y^{8} + 30 y^{4} - 45 y^{2}$

चरण 1

$15 y^{8} + 30 y^{4} - 45 y^{2}$ में से $15 y^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$15 y^{8}$ में से $15 y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$15 y^{2} (y^{6}) + 30 y^{4} - 45 y^{2}$

चरण 1.2

$30 y^{4}$ में से $15 y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2}) - 45 y^{2}$

चरण 1.3

$- 45 y^{2}$ में से $15 y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$

चरण 1.4

$15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2})$ में से $15 y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$

चरण 1.5

$15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$ में से $15 y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2} - 3)$

चरण 2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $y^{6} + 2 y^{2} - 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

चरण 2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 3$

चरण 2.3

$- 1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 1)}^{6} + 2 {(- 1)}^{2} - 3$

चरण 2.3.2

$- 1$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 2 {(- 1)}^{2} - 3$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 2 \cdot 1 - 3$

चरण 2.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 2 - 3$

चरण 2.3.5

$1$ और $2$ जोड़ें.

$3 - 3$

चरण 2.3.6

$3$ में से $3$ घटाएं.

$0$

चरण 2.4

चूँकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $y + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{y^{6} + 2 y^{2} - 3}{y + 1}$

चरण 2.5

$y^{6} + 2 y^{2} - 3$ को $y + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

चरण 2.5.2

भाज्य $y^{6}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

चरण 2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

चरण 2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $y^{6} + y^{5}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

चरण 2.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

चरण 2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

चरण 2.5.7

भाज्य $- y^{5}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

चरण 2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

चरण 2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- y^{5} - y^{4}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

चरण 2.5.10

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

चरण 2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

चरण 2.5.12

भाज्य $y^{4}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

चरण 2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

चरण 2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $y^{4} + y^{3}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

चरण 2.5.15

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

चरण 2.5.16

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

चरण 2.5.17

भाज्य $- y^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

चरण 2.5.18

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

चरण 2.5.19

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- y^{3} - y^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

चरण 2.5.20

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

चरण 2.5.21

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

चरण 2.5.22

भाज्य $3 y^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

चरण 2.5.23

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

चरण 2.5.24

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 y^{2} + 3 y$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

चरण 2.5.25

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

चरण 2.5.26

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

चरण 2.5.27

भाज्य $- 3 y$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

चरण 2.5.28

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

चरण 2.5.29

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 3 y - 3$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

चरण 2.5.30

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

$0$

चरण 2.5.31

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$y^{5} - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3$

चरण 2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $y^{6} + 2 y^{2} - 3$ लिखें.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{5} - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

चरण 3

$y^{5} - y^{4}$ में से $y^{4}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y^{5}$ में से $y^{4}$ का गुणनखंड करें.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} y - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

चरण 3.2

$- y^{4}$ में से $y^{4}$ का गुणनखंड करें.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} y + y^{4} \cdot - 1 + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

चरण 3.3

$y^{4} y + y^{4} \cdot - 1$ में से $y^{4}$ का गुणनखंड करें.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

चरण 4

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + (y^{3} - y^{2}) + 3 y - 3))$

चरण 4.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + y^{2} (y - 1) + 3 (y - 1)))$

चरण 5

महत्तम समापवर्तक, $y - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + (y - 1) (y^{2} + 3)))$

चरण 6

$y^{4} (y - 1) + (y - 1) (y^{2} + 3)$ में से $y - 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$y^{4} (y - 1)$ में से $y - 1$ का गुणनखंड करें.

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) y^{4} + (y - 1) (y^{2} + 3)))$

चरण 6.2

$(y - 1) y^{4} + (y - 1) (y^{2} + 3)$ में से $y - 1$ का गुणनखंड करें.

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)))$

चरण 7

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)))$

चरण 7.1.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$15 y^{2} ((y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3))$

चरण 7.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$15 y^{2} (y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)$