लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ y = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 3 & 3 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}] y = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}]$

चरण 1

Find the inverse of

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

फिर से लिखें.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} |$

चरण 1.2

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 1.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

चरण 1.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 1.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 1.2.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 1.2.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 1.2.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 1.2.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 1.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 1.2.2

$0$ को

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} |$ से गुणा करें.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 1.2.3

$0$ को

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ से गुणा करें.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 1.2.4

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + 0 + 0$

चरण 1.2.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

$1$ को

$1$ से गुणा करें.

$1 (1 - 1 \cdot 0) + 0 + 0$

चरण 1.2.4.2.2

$1$ में से

$0$ घटाएं.

$1 \cdot 1 + 0 + 0$

चरण 1.2.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$1$ को

$1$ से गुणा करें.

$1 + 0 + 0$

चरण 1.2.5.2

$1$ और

$0$ जोड़ें.

$1 + 0$

चरण 1.2.5.3

$1$ और

$0$ जोड़ें.

$1$

चरण 1.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

चरण 1.4

Set up a

$3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 1.5

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 1.5.1.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 1.5.2

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 1 - 0 & 0 - 1 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

चरण 1.5.2.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 1.5.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 0 & - 1 + 1 & 0 - 1 & 1 - 0 \end{array}]$

चरण 1.5.3.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \end{array}]$

चरण 1.6

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}]$

चरण 2

Multiply both sides by the inverse of

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}] y = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}]$

चरण 3

समीकरण को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$3 \times 3$ and the second matrix is

$3 \times 3$ .

चरण 3.1.2

पहले मैट्रिक्स में प्रत्येक पंक्ति को दूसरे मैट्रिक्स में प्रत्येक कॉलम से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & - 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & - 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 0 - 0 + 1 \cdot 1 \end{array}] y = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}]$

चरण 3.1.3

सभी व्यंजकों को गुणा करके आव्यूह के प्रत्येक अवयव को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] y = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}]$

चरण 3.2

Multiplying the identity matrix by any matrix

$A$ is the matrix

$A$ itself.

$y = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}]$

चरण 3.3

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}]$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$3 \times 3$ and the second matrix is

$3 \times 2$ .

चरण 3.3.2

$y = [\begin{array}{c} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 2 & 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 1 \\ - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 & - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 - 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 & 0 \cdot 2 - 1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.3.3

सभी व्यंजकों को गुणा करके आव्यूह के प्रत्येक अवयव को सरल करें.

$y = [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{array}]$