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लीनियर एलजेब्रा उदाहरण
A=[07170]A=[07170]
चरण 1
चरण 1.1
अभिलक्षणिक समीकरण p(λ) ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.
p(λ)=सारणिक(A-λI2)
चरण 1.2
सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स 2 2×2 वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.
[1001]
चरण 1.3
ज्ञात मानों को p(λ)=सारणिक(A-λI2) में प्रतिस्थापित करें.
चरण 1.3.1
[07170] को A से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([07170]-λI2)
चरण 1.3.2
[1001] को I2 से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([07170]-λ[1001])
p(λ)=सारणिक([07170]-λ[1001])
चरण 1.4
सरल करें.
चरण 1.4.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.4.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -λ को गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([07170]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 1.4.1.2.1
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([07170]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.2
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.2.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([07170]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.2.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([07170]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([07170]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.3
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.3.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([07170]+[-λ00λ-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.3.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([07170]+[-λ00-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([07170]+[-λ00-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.4
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([07170]+[-λ00-λ])
p(λ)=सारणिक([07170]+[-λ00-λ])
p(λ)=सारणिक([07170]+[-λ00-λ])
चरण 1.4.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[0-λ7+017+00-λ]
चरण 1.4.3
Simplify each element.
चरण 1.4.3.1
0 में से λ घटाएं.
p(λ)=सारणिक[-λ7+017+00-λ]
चरण 1.4.3.2
7 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[-λ717+00-λ]
चरण 1.4.3.3
17 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[-λ7170-λ]
चरण 1.4.3.4
0 में से λ घटाएं.
p(λ)=सारणिक[-λ717-λ]
p(λ)=सारणिक[-λ717-λ]
p(λ)=सारणिक[-λ717-λ]
चरण 1.5
Find the determinant.
चरण 1.5.1
2×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
p(λ)=-λ(-λ)-17⋅7
चरण 1.5.2
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.2.1
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=-1⋅-1λ⋅λ-17⋅7
चरण 1.5.2.2
घातांक जोड़कर λ को λ से गुणा करें.
चरण 1.5.2.2.1
λ ले जाएं.
p(λ)=-1⋅-1(λ⋅λ)-17⋅7
चरण 1.5.2.2.2
λ को λ से गुणा करें.
p(λ)=-1⋅-1λ2-17⋅7
p(λ)=-1⋅-1λ2-17⋅7
चरण 1.5.2.3
-1 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=1λ2-17⋅7
चरण 1.5.2.4
λ2 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=λ2-17⋅7
चरण 1.5.2.5
7 का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.5.2.5.1
-17 में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.
p(λ)=λ2+-17⋅7
चरण 1.5.2.5.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
p(λ)=λ2+-17⋅7
चरण 1.5.2.5.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
p(λ)=λ2-1
p(λ)=λ2-1
p(λ)=λ2-1
p(λ)=λ2-1
चरण 1.6
आइगेन मान λ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को 0 के बराबर सेट करें.
λ2-1=0
चरण 1.7
λ के लिए हल करें.
चरण 1.7.1
समीकरण के दोनों पक्षों में 1 जोड़ें.
λ2=1
चरण 1.7.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
λ=±√1
चरण 1.7.3
1 का कोई भी मूल 1 होता है.
λ=±1
चरण 1.7.4
पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.
चरण 1.7.4.1
सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए ± के धनात्मक मान का उपयोग करें.
λ=1
चरण 1.7.4.2
इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए ± के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.
λ=-1
चरण 1.7.4.3
पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.
λ=1,-1
λ=1,-1
λ=1,-1
λ=1,-1
चरण 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
चरण 3
चरण 3.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
N([07170]-[1001])
चरण 3.2
सरल करें.
चरण 3.2.1
संबंधित तत्वों को घटाएं.
[0-17-017-00-1]
चरण 3.2.2
Simplify each element.
चरण 3.2.2.1
0 में से 1 घटाएं.
[-17-017-00-1]
चरण 3.2.2.2
7 में से 0 घटाएं.
[-1717-00-1]
चरण 3.2.2.3
17 में से 0 घटाएं.
[-17170-1]
चरण 3.2.2.4
0 में से 1 घटाएं.
[-1717-1]
[-1717-1]
[-1717-1]
चरण 3.3
Find the null space when λ=1.
चरण 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-17017-10]
चरण 3.3.2
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
चरण 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
[--1-1⋅7-017-10]
चरण 3.3.2.1.2
R1 को सरल करें.
[1-7017-10]
[1-7017-10]
चरण 3.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-17R1 to make the entry at 2,1 a 0.
चरण 3.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-17R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-7017-17⋅1-1-17⋅-70-17⋅0]
चरण 3.3.2.2.2
R2 को सरल करें.
[1-70000]
[1-70000]
[1-70000]
चरण 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-7y=0
0=0
चरण 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[7yy]
चरण 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[71]
चरण 3.3.6
Write as a solution set.
{y[71]|y∈R}
चरण 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[71]}
{[71]}
{[71]}
चरण 4
चरण 4.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
N([07170]+[1001])
चरण 4.2
सरल करें.
चरण 4.2.1
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
[0+17+017+00+1]
चरण 4.2.2
Simplify each element.
चरण 4.2.2.1
0 और 1 जोड़ें.
[17+017+00+1]
चरण 4.2.2.2
7 और 0 जोड़ें.
[1717+00+1]
चरण 4.2.2.3
17 और 0 जोड़ें.
[17170+1]
चरण 4.2.2.4
0 और 1 जोड़ें.
[17171]
[17171]
[17171]
चरण 4.3
Find the null space when λ=-1.
चरण 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[1701710]
चरण 4.3.2
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 4.3.2.1
Perform the row operation R2=R2-17R1 to make the entry at 2,1 a 0.
चरण 4.3.2.1.1
Perform the row operation R2=R2-17R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[17017-17⋅11-17⋅70-17⋅0]
चरण 4.3.2.1.2
R2 को सरल करें.
[170000]
[170000]
[170000]
चरण 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+7y=0
0=0
चरण 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[-7yy]
चरण 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[-71]
चरण 4.3.6
Write as a solution set.
{y[-71]|y∈R}
चरण 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[-71]}
{[-71]}
{[-71]}
चरण 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[71],[-71]}