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लीनियर एलजेब्रा उदाहरण
[40-84018-38036-72-2]⎡⎢⎣40−84018−38036−72−2⎤⎥⎦
चरण 1
अभिलक्षणिक समीकरण p(λ) ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.
p(λ)=सारणिक(A-λI3)
चरण 2
सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स 3 3×3 वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.
[100010001]
चरण 3
चरण 3.1
[40-84018-38036-72-2] को A से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]-λI3)
चरण 3.2
[100010001] को I3 से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]-λ[100010001])
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]-λ[100010001])
चरण 4
चरण 4.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 4.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -λ को गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 4.1.2.1
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.2
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.2.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.2.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.3
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.3.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.3.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.4
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.4.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.4.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.5
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.6
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.6.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.6.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.7
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.7.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.7.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.8
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.8.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
चरण 4.1.2.8.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
चरण 4.1.2.9
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=सारणिक([40-84018-38036-72-2]+[-λ000-λ000-λ])
चरण 4.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[40-λ-84+00+018+0-38-λ0+036+0-72+0-2-λ]
चरण 4.3
Simplify each element.
चरण 4.3.1
-84 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[40-λ-840+018+0-38-λ0+036+0-72+0-2-λ]
चरण 4.3.2
0 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[40-λ-84018+0-38-λ0+036+0-72+0-2-λ]
चरण 4.3.3
18 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[40-λ-84018-38-λ0+036+0-72+0-2-λ]
चरण 4.3.4
0 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[40-λ-84018-38-λ036+0-72+0-2-λ]
चरण 4.3.5
36 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[40-λ-84018-38-λ036-72+0-2-λ]
चरण 4.3.6
-72 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[40-λ-84018-38-λ036-72-2-λ]
p(λ)=सारणिक[40-λ-84018-38-λ036-72-2-λ]
p(λ)=सारणिक[40-λ-84018-38-λ036-72-2-λ]
चरण 5
चरण 5.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in column 3 by its cofactor and add.
चरण 5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
चरण 5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
चरण 5.1.3
The minor for a13 is the determinant with row 1 and column 3 deleted.
|18-38-λ36-72|
चरण 5.1.4
Multiply element a13 by its cofactor.
0|18-38-λ36-72|
चरण 5.1.5
The minor for a23 is the determinant with row 2 and column 3 deleted.
|40-λ-8436-72|
चरण 5.1.6
Multiply element a23 by its cofactor.
0|40-λ-8436-72|
चरण 5.1.7
The minor for a33 is the determinant with row 3 and column 3 deleted.
|40-λ-8418-38-λ|
चरण 5.1.8
Multiply element a33 by its cofactor.
(-2-λ)|40-λ-8418-38-λ|
चरण 5.1.9
Add the terms together.
p(λ)=0|18-38-λ36-72|+0|40-λ-8436-72|+(-2-λ)|40-λ-8418-38-λ|
p(λ)=0|18-38-λ36-72|+0|40-λ-8436-72|+(-2-λ)|40-λ-8418-38-λ|
चरण 5.2
0 को |18-38-λ36-72| से गुणा करें.
p(λ)=0+0|40-λ-8436-72|+(-2-λ)|40-λ-8418-38-λ|
चरण 5.3
0 को |40-λ-8436-72| से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)|40-λ-8418-38-λ|
चरण 5.4
|40-λ-8418-38-λ| का मान ज्ञात करें.
चरण 5.4.1
2×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
p(λ)=0+0+(-2-λ)((40-λ)(-38-λ)-18⋅-84)
चरण 5.4.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 5.4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.4.2.1.1
FOIL विधि का उपयोग करके (40-λ)(-38-λ) का प्रसार करें.
चरण 5.4.2.1.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(40(-38-λ)-λ(-38-λ)-18⋅-84)
चरण 5.4.2.1.1.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(40⋅-38+40(-λ)-λ(-38-λ)-18⋅-84)
चरण 5.4.2.1.1.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(40⋅-38+40(-λ)-λ⋅-38-λ(-λ)-18⋅-84)
p(λ)=0+0+(-2-λ)(40⋅-38+40(-λ)-λ⋅-38-λ(-λ)-18⋅-84)
चरण 5.4.2.1.2
समान पदों को सरल और संयोजित करें.
चरण 5.4.2.1.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.4.2.1.2.1.1
40 को -38 से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520+40(-λ)-λ⋅-38-λ(-λ)-18⋅-84)
चरण 5.4.2.1.2.1.2
-1 को 40 से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ-λ⋅-38-λ(-λ)-18⋅-84)
चरण 5.4.2.1.2.1.3
-38 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ-λ(-λ)-18⋅-84)
चरण 5.4.2.1.2.1.4
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ-1⋅-1λ⋅λ-18⋅-84)
चरण 5.4.2.1.2.1.5
घातांक जोड़कर λ को λ से गुणा करें.
चरण 5.4.2.1.2.1.5.1
λ ले जाएं.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ-1⋅-1(λ⋅λ)-18⋅-84)
चरण 5.4.2.1.2.1.5.2
λ को λ से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ-1⋅-1λ2-18⋅-84)
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ-1⋅-1λ2-18⋅-84)
चरण 5.4.2.1.2.1.6
-1 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ+1λ2-18⋅-84)
चरण 5.4.2.1.2.1.7
λ2 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ+λ2-18⋅-84)
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-40λ+38λ+λ2-18⋅-84)
चरण 5.4.2.1.2.2
-40λ और 38λ जोड़ें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-2λ+λ2-18⋅-84)
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-2λ+λ2-18⋅-84)
चरण 5.4.2.1.3
-18 को -84 से गुणा करें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-2λ+λ2+1512)
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-1520-2λ+λ2+1512)
चरण 5.4.2.2
-1520 और 1512 जोड़ें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(-2λ+λ2-8)
चरण 5.4.2.3
-2λ और λ2 को पुन: क्रमित करें.
p(λ)=0+0+(-2-λ)(λ2-2λ-8)
p(λ)=0+0+(-2-λ)(λ2-2λ-8)
p(λ)=0+0+(-2-λ)(λ2-2λ-8)
चरण 5.5
सारणिक को सरल करें.
चरण 5.5.1
0+0+(-2-λ)(λ2-2λ-8) में विपरीत पदों को मिलाएं.
चरण 5.5.1.1
0 और 0 जोड़ें.
p(λ)=0+(-2-λ)(λ2-2λ-8)
चरण 5.5.1.2
0 और (-2-λ)(λ2-2λ-8) जोड़ें.
p(λ)=(-2-λ)(λ2-2λ-8)
p(λ)=(-2-λ)(λ2-2λ-8)
चरण 5.5.2
प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके (-2-λ)(λ2-2λ-8) का प्रसार करें.
p(λ)=-2λ2-2(-2λ)-2⋅-8-λ⋅λ2-λ(-2λ)-λ⋅-8
चरण 5.5.3
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.5.3.1
-2 को -2 से गुणा करें.
p(λ)=-2λ2+4λ-2⋅-8-λ⋅λ2-λ(-2λ)-λ⋅-8
चरण 5.5.3.2
-2 को -8 से गुणा करें.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ⋅λ2-λ(-2λ)-λ⋅-8
चरण 5.5.3.3
घातांक जोड़कर λ को λ2 से गुणा करें.
चरण 5.5.3.3.1
λ2 ले जाएं.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-(λ2λ)-λ(-2λ)-λ⋅-8
चरण 5.5.3.3.2
λ2 को λ से गुणा करें.
चरण 5.5.3.3.2.1
λ को 1 के घात तक बढ़ाएं.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-(λ2λ1)-λ(-2λ)-λ⋅-8
चरण 5.5.3.3.2.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम aman=am+n का उपयोग करें.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ2+1-λ(-2λ)-λ⋅-8
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ2+1-λ(-2λ)-λ⋅-8
चरण 5.5.3.3.3
2 और 1 जोड़ें.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3-λ(-2λ)-λ⋅-8
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3-λ(-2λ)-λ⋅-8
चरण 5.5.3.4
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3-1⋅-2λ⋅λ-λ⋅-8
चरण 5.5.3.5
घातांक जोड़कर λ को λ से गुणा करें.
चरण 5.5.3.5.1
λ ले जाएं.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3-1⋅-2(λ⋅λ)-λ⋅-8
चरण 5.5.3.5.2
λ को λ से गुणा करें.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3-1⋅-2λ2-λ⋅-8
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3-1⋅-2λ2-λ⋅-8
चरण 5.5.3.6
-1 को -2 से गुणा करें.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3+2λ2-λ⋅-8
चरण 5.5.3.7
-8 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3+2λ2+8λ
p(λ)=-2λ2+4λ+16-λ3+2λ2+8λ
चरण 5.5.4
-2λ2+4λ+16-λ3+2λ2+8λ में विपरीत पदों को मिलाएं.
चरण 5.5.4.1
-2λ2 और 2λ2 जोड़ें.
p(λ)=4λ+16-λ3+0+8λ
चरण 5.5.4.2
4λ+16-λ3 और 0 जोड़ें.
p(λ)=4λ+16-λ3+8λ
p(λ)=4λ+16-λ3+8λ
चरण 5.5.5
4λ और 8λ जोड़ें.
p(λ)=12λ+16-λ3
चरण 5.5.6
16 ले जाएं.
p(λ)=12λ-λ3+16
चरण 5.5.7
12λ और -λ3 को पुन: क्रमित करें.
p(λ)=-λ3+12λ+16
p(λ)=-λ3+12λ+16
p(λ)=-λ3+12λ+16