समस्या दर्ज करें...
लीनियर एलजेब्रा उदाहरण
[1111][1111]
चरण 1
चरण 1.1
अभिलक्षणिक समीकरण p(λ) ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.
p(λ)=सारणिक(A-λI2)
चरण 1.2
सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स 2 2×2 वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.
[1001]
चरण 1.3
ज्ञात मानों को p(λ)=सारणिक(A-λI2) में प्रतिस्थापित करें.
चरण 1.3.1
[1111] को A से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([1111]-λI2)
चरण 1.3.2
[1001] को I2 से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([1111]-λ[1001])
p(λ)=सारणिक([1111]-λ[1001])
चरण 1.4
सरल करें.
चरण 1.4.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.4.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -λ को गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([1111]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 1.4.1.2.1
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([1111]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.2
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.2.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([1111]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.2.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([1111]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([1111]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.3
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.3.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([1111]+[-λ00λ-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.3.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([1111]+[-λ00-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([1111]+[-λ00-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.4
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([1111]+[-λ00-λ])
p(λ)=सारणिक([1111]+[-λ00-λ])
p(λ)=सारणिक([1111]+[-λ00-λ])
चरण 1.4.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[1-λ1+01+01-λ]
चरण 1.4.3
Simplify each element.
चरण 1.4.3.1
1 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[1-λ11+01-λ]
चरण 1.4.3.2
1 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[1-λ111-λ]
p(λ)=सारणिक[1-λ111-λ]
p(λ)=सारणिक[1-λ111-λ]
चरण 1.5
Find the determinant.
चरण 1.5.1
2×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
p(λ)=(1-λ)(1-λ)-1⋅1
चरण 1.5.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 1.5.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.2.1.1
FOIL विधि का उपयोग करके (1-λ)(1-λ) का प्रसार करें.
चरण 1.5.2.1.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=1(1-λ)-λ(1-λ)-1⋅1
चरण 1.5.2.1.1.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=1⋅1+1(-λ)-λ(1-λ)-1⋅1
चरण 1.5.2.1.1.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=1⋅1+1(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)-1⋅1
p(λ)=1⋅1+1(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)-1⋅1
चरण 1.5.2.1.2
समान पदों को सरल और संयोजित करें.
चरण 1.5.2.1.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.2.1.2.1.1
1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=1+1(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)-1⋅1
चरण 1.5.2.1.2.1.2
-λ को 1 से गुणा करें.
p(λ)=1-λ-λ⋅1-λ(-λ)-1⋅1
चरण 1.5.2.1.2.1.3
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=1-λ-λ-λ(-λ)-1⋅1
चरण 1.5.2.1.2.1.4
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=1-λ-λ-1⋅-1λ⋅λ-1⋅1
चरण 1.5.2.1.2.1.5
घातांक जोड़कर λ को λ से गुणा करें.
चरण 1.5.2.1.2.1.5.1
λ ले जाएं.
p(λ)=1-λ-λ-1⋅-1(λ⋅λ)-1⋅1
चरण 1.5.2.1.2.1.5.2
λ को λ से गुणा करें.
p(λ)=1-λ-λ-1⋅-1λ2-1⋅1
p(λ)=1-λ-λ-1⋅-1λ2-1⋅1
चरण 1.5.2.1.2.1.6
-1 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=1-λ-λ+1λ2-1⋅1
चरण 1.5.2.1.2.1.7
λ2 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=1-λ-λ+λ2-1⋅1
p(λ)=1-λ-λ+λ2-1⋅1
चरण 1.5.2.1.2.2
-λ में से λ घटाएं.
p(λ)=1-2λ+λ2-1⋅1
p(λ)=1-2λ+λ2-1⋅1
चरण 1.5.2.1.3
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=1-2λ+λ2-1
p(λ)=1-2λ+λ2-1
चरण 1.5.2.2
1-2λ+λ2-1 में विपरीत पदों को मिलाएं.
चरण 1.5.2.2.1
1 में से 1 घटाएं.
p(λ)=-2λ+λ2+0
चरण 1.5.2.2.2
-2λ+λ2 और 0 जोड़ें.
p(λ)=-2λ+λ2
p(λ)=-2λ+λ2
चरण 1.5.2.3
-2λ और λ2 को पुन: क्रमित करें.
p(λ)=λ2-2λ
p(λ)=λ2-2λ
p(λ)=λ2-2λ
चरण 1.6
आइगेन मान λ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को 0 के बराबर सेट करें.
λ2-2λ=0
चरण 1.7
λ के लिए हल करें.
चरण 1.7.1
λ2-2λ में से λ का गुणनखंड करें.
चरण 1.7.1.1
λ2 में से λ का गुणनखंड करें.
λ⋅λ-2λ=0
चरण 1.7.1.2
-2λ में से λ का गुणनखंड करें.
λ⋅λ+λ⋅-2=0
चरण 1.7.1.3
λ⋅λ+λ⋅-2 में से λ का गुणनखंड करें.
λ(λ-2)=0
λ(λ-2)=0
चरण 1.7.2
यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड 0 के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक 0 के बराबर होगा.
λ=0
λ-2=0
चरण 1.7.3
λ को 0 के बराबर सेट करें.
λ=0
चरण 1.7.4
λ-2 को 0 के बराबर सेट करें और λ के लिए हल करें.
चरण 1.7.4.1
λ-2 को 0 के बराबर सेट करें.
λ-2=0
चरण 1.7.4.2
समीकरण के दोनों पक्षों में 2 जोड़ें.
λ=2
λ=2
चरण 1.7.5
अंतिम हल वो सभी मान हैं जो λ(λ-2)=0 को सिद्ध करते हैं.
λ=0,2
λ=0,2
λ=0,2
चरण 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
चरण 3
चरण 3.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
N([1111]+0[1001])
चरण 3.2
सरल करें.
चरण 3.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 3.2.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से 0 को गुणा करें.
[1111]+[0⋅10⋅00⋅00⋅1]
चरण 3.2.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 3.2.1.2.1
0 को 1 से गुणा करें.
[1111]+[00⋅00⋅00⋅1]
चरण 3.2.1.2.2
0 को 0 से गुणा करें.
[1111]+[000⋅00⋅1]
चरण 3.2.1.2.3
0 को 0 से गुणा करें.
[1111]+[0000⋅1]
चरण 3.2.1.2.4
0 को 1 से गुणा करें.
[1111]+[0000]
[1111]+[0000]
[1111]+[0000]
चरण 3.2.2
Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.
चरण 3.2.2.1
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
[1+01+01+01+0]
चरण 3.2.2.2
Simplify each element.
चरण 3.2.2.2.1
1 और 0 जोड़ें.
[11+01+01+0]
चरण 3.2.2.2.2
1 और 0 जोड़ें.
[111+01+0]
चरण 3.2.2.2.3
1 और 0 जोड़ें.
[1111+0]
चरण 3.2.2.2.4
1 और 0 जोड़ें.
[1111]
[1111]
[1111]
[1111]
चरण 3.3
Find the null space when λ=0.
चरण 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[110110]
चरण 3.3.2
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 3.3.2.1
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
चरण 3.3.2.1.1
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1101-11-10-0]
चरण 3.3.2.1.2
R2 को सरल करें.
[110000]
[110000]
[110000]
चरण 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+y=0
0=0
चरण 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[-yy]
चरण 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[-11]
चरण 3.3.6
Write as a solution set.
{y[-11]|y∈R}
चरण 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[-11]}
{[-11]}
{[-11]}
चरण 4
चरण 4.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
N([1111]-2[1001])
चरण 4.2
सरल करें.
चरण 4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 4.2.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -2 को गुणा करें.
[1111]+[-2⋅1-2⋅0-2⋅0-2⋅1]
चरण 4.2.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 4.2.1.2.1
-2 को 1 से गुणा करें.
[1111]+[-2-2⋅0-2⋅0-2⋅1]
चरण 4.2.1.2.2
-2 को 0 से गुणा करें.
[1111]+[-20-2⋅0-2⋅1]
चरण 4.2.1.2.3
-2 को 0 से गुणा करें.
[1111]+[-200-2⋅1]
चरण 4.2.1.2.4
-2 को 1 से गुणा करें.
[1111]+[-200-2]
[1111]+[-200-2]
[1111]+[-200-2]
चरण 4.2.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
[1-21+01+01-2]
चरण 4.2.3
Simplify each element.
चरण 4.2.3.1
1 में से 2 घटाएं.
[-11+01+01-2]
चरण 4.2.3.2
1 और 0 जोड़ें.
[-111+01-2]
चरण 4.2.3.3
1 और 0 जोड़ें.
[-1111-2]
चरण 4.2.3.4
1 में से 2 घटाएं.
[-111-1]
[-111-1]
[-111-1]
चरण 4.3
Find the null space when λ=2.
चरण 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-1101-10]
चरण 4.3.2
घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.
चरण 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
चरण 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
[--1-1⋅1-01-10]
चरण 4.3.2.1.2
R1 को सरल करें.
[1-101-10]
[1-101-10]
चरण 4.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
चरण 4.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1-101-1-1+10-0]
चरण 4.3.2.2.2
R2 को सरल करें.
[1-10000]
[1-10000]
[1-10000]
चरण 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-y=0
0=0
चरण 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[yy]
चरण 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[11]
चरण 4.3.6
Write as a solution set.
{y[11]|y∈R}
चरण 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[11]}
{[11]}
{[11]}
चरण 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[-11],[11]}