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लीनियर एलजेब्रा उदाहरण
[132-1][132−1]
चरण 1
अभिलक्षणिक समीकरण p(λ)p(λ) ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.
p(λ)=सारणिक(A-λI2)
चरण 2
सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स 2 2×2 वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.
[1001]
चरण 3
चरण 3.1
[132-1] को A से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([132-1]-λI2)
चरण 3.2
[1001] को I2 से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([132-1]-λ[1001])
p(λ)=सारणिक([132-1]-λ[1001])
चरण 4
चरण 4.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 4.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -λ को गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([132-1]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 4.1.2.1
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([132-1]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.2
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.2.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([132-1]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.2.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([132-1]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([132-1]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 4.1.2.3
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 4.1.2.3.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([132-1]+[-λ00λ-λ⋅1])
चरण 4.1.2.3.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([132-1]+[-λ00-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([132-1]+[-λ00-λ⋅1])
चरण 4.1.2.4
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([132-1]+[-λ00-λ])
p(λ)=सारणिक([132-1]+[-λ00-λ])
p(λ)=सारणिक([132-1]+[-λ00-λ])
चरण 4.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[1-λ3+02+0-1-λ]
चरण 4.3
Simplify each element.
चरण 4.3.1
3 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[1-λ32+0-1-λ]
चरण 4.3.2
2 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[1-λ32-1-λ]
p(λ)=सारणिक[1-λ32-1-λ]
p(λ)=सारणिक[1-λ32-1-λ]
चरण 5
चरण 5.1
2×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
p(λ)=(1-λ)(-1-λ)-2⋅3
चरण 5.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 5.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.2.1.1
FOIL विधि का उपयोग करके (1-λ)(-1-λ) का प्रसार करें.
चरण 5.2.1.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=1(-1-λ)-λ(-1-λ)-2⋅3
चरण 5.2.1.1.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=1⋅-1+1(-λ)-λ(-1-λ)-2⋅3
चरण 5.2.1.1.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=1⋅-1+1(-λ)-λ⋅-1-λ(-λ)-2⋅3
p(λ)=1⋅-1+1(-λ)-λ⋅-1-λ(-λ)-2⋅3
चरण 5.2.1.2
समान पदों को सरल और संयोजित करें.
चरण 5.2.1.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 5.2.1.2.1.1
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=-1+1(-λ)-λ⋅-1-λ(-λ)-2⋅3
चरण 5.2.1.2.1.2
-λ को 1 से गुणा करें.
p(λ)=-1-λ-λ⋅-1-λ(-λ)-2⋅3
चरण 5.2.1.2.1.3
-λ⋅-1 गुणा करें.
चरण 5.2.1.2.1.3.1
-1 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=-1-λ+1λ-λ(-λ)-2⋅3
चरण 5.2.1.2.1.3.2
λ को 1 से गुणा करें.
p(λ)=-1-λ+λ-λ(-λ)-2⋅3
p(λ)=-1-λ+λ-λ(-λ)-2⋅3
चरण 5.2.1.2.1.4
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=-1-λ+λ-1⋅-1λ⋅λ-2⋅3
चरण 5.2.1.2.1.5
घातांक जोड़कर λ को λ से गुणा करें.
चरण 5.2.1.2.1.5.1
λ ले जाएं.
p(λ)=-1-λ+λ-1⋅-1(λ⋅λ)-2⋅3
चरण 5.2.1.2.1.5.2
λ को λ से गुणा करें.
p(λ)=-1-λ+λ-1⋅-1λ2-2⋅3
p(λ)=-1-λ+λ-1⋅-1λ2-2⋅3
चरण 5.2.1.2.1.6
-1 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=-1-λ+λ+1λ2-2⋅3
चरण 5.2.1.2.1.7
λ2 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=-1-λ+λ+λ2-2⋅3
p(λ)=-1-λ+λ+λ2-2⋅3
चरण 5.2.1.2.2
-λ और λ जोड़ें.
p(λ)=-1+0+λ2-2⋅3
चरण 5.2.1.2.3
-1 और 0 जोड़ें.
p(λ)=-1+λ2-2⋅3
p(λ)=-1+λ2-2⋅3
चरण 5.2.1.3
-2 को 3 से गुणा करें.
p(λ)=-1+λ2-6
p(λ)=-1+λ2-6
चरण 5.2.2
-1 में से 6 घटाएं.
p(λ)=λ2-7
p(λ)=λ2-7
p(λ)=λ2-7
चरण 6
आइगेन मान λ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को 0 के बराबर सेट करें.
λ2-7=0
चरण 7
चरण 7.1
समीकरण के दोनों पक्षों में 7 जोड़ें.
λ2=7
चरण 7.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
λ=±√7
चरण 7.3
पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.
चरण 7.3.1
सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए ± के धनात्मक मान का उपयोग करें.
λ=√7
चरण 7.3.2
इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए ± के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.
λ=-√7
चरण 7.3.3
पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.
λ=√7,-√7
λ=√7,-√7
λ=√7,-√7
चरण 8
परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.
सटीक रूप:
λ=√7,-√7
दशमलव रूप:
λ=2.64575131…,-2.64575131…