लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}]$

चरण 1

परिवर्तन एक मानचित्र को $ℝ^{3}$ से $ℝ^{3}$ तक परिभाषित करता है. यह साबित करने के लिए कि परिवर्तन रैखिक है, परिवर्तन को अदिश गुणन, जोड़ और शून्य सदिश को संरक्षित करना चाहिए.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

चरण 2

पहले साबित करें कि परिवर्तन इस संपत्ति को संरक्षित करता है.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

चरण 3

अतिरिक्त गुण $S$ के लिए संरक्षित है, इसका परीक्षण करने के लिए दो मैट्रिक्स सेट करें.

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

चरण 4

दो आव्यूहों को जोड़े.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

चरण 5

सदिश में परिवर्तन लागू करें.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

चरण 6

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3})$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

चरण 6.2

$x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

चरण 6.3

$2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3})$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

चरण 7

चरों को समूहित करके परिणाम को दो आव्यूहों में विभाजित करें.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

चरण 8

परिवर्तन का संयोजन गुणधर्म सत्य है.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

चरण 9

परिवर्तन के लिए रैखिक होने के लिए, इसे अदिश गुणन बनाएं रखना चाहिए.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

चरण 10

प्रत्येक अवयव के $p$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मैट्रिक्स में प्रत्येक अवयव से $p$ को गुणा करें.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

चरण 10.2

सदिश में परिवर्तन लागू करें.

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c)) \\ (p a) + 2 (p b) + p c \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

चरण 10.3

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c))$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ (p a) + 2 (p b) + p c \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

चरण 10.3.2

$(p a) + 2 (p b) + p c$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

चरण 10.3.3

$2 (p a + p b + 2 (p c))$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

चरण 10.4

आव्यूह के प्रत्येक अवयव का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

$2 a p - 12 b p + 12 c p$ से गुणा करके अवयव $0, 0$ का गुणनखंड करें.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

चरण 10.4.2

$a p + 2 b p + c p$ से गुणा करके अवयव $1, 0$ का गुणनखंड करें.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

चरण 10.4.3

$2 a p + 2 b p + 4 c p$ से गुणा करके अवयव $2, 0$ का गुणनखंड करें.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ p (2 a + 2 b + 4 c) \end{array}]$

चरण 11

इस परिवर्तन में रैखिक परिवर्तनों की दूसरे गुणधर्म संरक्षित है.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

चरण 12

परिवर्तन के रैखिक होने के लिए, शून्य वेक्टर को संरक्षित किया जाना चाहिए.

$S (0) = 0$

चरण 13

सदिश में परिवर्तन लागू करें.

$S (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0) \\ (0) + 2 (0) + 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

चरण 14

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0)$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) + 2 (0) + 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

चरण 14.2

$(0) + 2 (0) + 0$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

चरण 14.3

$2 (0) + 0 + 2 (0)$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

चरण 15

शून्य सदिश परिवर्तन द्वारा संरक्षित है.

$S (0) = 0$

चरण 16

चूंकि रैखिक परिवर्तनों के सभी तीन गुण पूरे नहीं होते हैं, यह एक रैखिक परिवर्तन नहीं है.

रैखिक परिवर्तन