लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

y = 3 x + 2

$y = 3 x + 2$ ,

x - 4 y = 9

$x - 4 y = 9$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से

3 x

$3 x$ घटाएं.

y - 3 x = 2, x - 4 y = 9

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

चरण 2

समतल

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ और समतल

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ के ऊर्ध्वाधर बिंदु

(p, q, r)

$(p, q, r)$ से जाने वाली रेखा का प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए:

1. समतल

P_{1}

$P_{1}$ और समतल

P_{2}

$P_{2}$ के सामान्य सदिश ज्ञात कीजिए, जहां सामान्य सदिश

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ और

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ हैं. यह देखने के लिए जांचें कि क्या अदिश गुणनफल 0 है.

2. पैरामीट्रिक समीकरणों का एक सेट बनाएंं जैसे कि

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , और

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. इन समीकरणों को समतल

P_{2}

$P_{2}$ के समीकरण में इस प्रकार प्रतिस्थापित करें जैसे कि

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ है और

t

$t$ के लिए इसे हल करें.

4. प्रतिच्छेदन

(x, y, z)

$(x, y, z)$ पता करने के लिए

t

$t$ के मान का उपयोग करके,

t

$t$ के लिए पैरामीट्रिक समीकरण

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ , और

z = r + c t

$z = r + c t$ को हल करें.

चरण 3

प्रत्येक समतल के लिए अभिलंब सदिश पता करें और अदिश गुणनफल की गणना करके निर्धारित करें कि वे लंबवत हैं या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

P_{1}

$P_{1}$ ,

y - 3 x = 2

$y - 3 x = 2$ है.

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ रूप के समतल समीकरण से अभिलंब सदिश

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ ज्ञात कीजिए.

n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

चरण 3.2

P_{2}

$P_{2}$ ,

x - 4 y = 9

$x - 4 y = 9$ है.

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ रूप के समतल समीकरण से अभिलंब सदिश

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ ज्ञात कीजिए.

n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

चरण 3.3

सामान्य वैक्टर में संबंधित

x

$x$ ,

y

$y$ , और

z

$z$ मानों के उत्पादों को जोड़कर

n_{1}

$n_{1}$ और

n_{2}

$n_{2}$ के डॉट उत्पाद की गणना करें.

- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

चरण 3.4

अदिश गुणनफल को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

कोष्ठक हटा दें.

- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

चरण 3.4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

- 3

$- 3$ को

1

$1$ से गुणा करें.

- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

चरण 3.4.2.2

- 4

$- 4$ को

1

$1$ से गुणा करें.

- 3 - 4 + 0 \cdot 0

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

चरण 3.4.2.3

0

$0$ को

0

$0$ से गुणा करें.

- 3 - 4 + 0

$- 3 - 4 + 0$

- 3 - 4 + 0

$- 3 - 4 + 0$

चरण 3.4.3

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

- 3

$- 3$ में से

4

$4$ घटाएं.

- 7 + 0

$- 7 + 0$

चरण 3.4.3.2

- 7

$- 7$ और

0

$0$ जोड़ें.

- 7

$- 7$

- 7

$- 7$

- 7

$- 7$

- 7

$- 7$

चरण 4

इसके बाद, बिंदु

(p, q, r)

$(p, q, r)$ के लिए मूल

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ और

a

$a$ के मानों के लिए लंबवत सदिश

- 7

$- 7$ के मानों का उपयोग करके पैरामीट्रिक समीकरण

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ और

z = r + c t

$z = r + c t$ का एक सेट बनाएंं,

b

$b$ और

c

$c$ . पैरामीट्रिक समीकरणों का यह सेट मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा को दर्शाता है जो

P_{1}

$P_{1}$

y - 3 x = 2

$y - 3 x = 2$ के लंबवत है.

x = 0 + - 3 \cdot t

$x = 0 + - 3 \cdot t$

y = 0 + 1 \cdot t

$y = 0 + 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

चरण 5

x

$x$ ,

y

$y$ और

z

$z$ के व्यंजक को

P_{2}

$P_{2}$

x - 4 y = 9

$x - 4 y = 9$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें.

(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

चरण 6

t

$t$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

0

$0$ में से

3 \cdot t

$3 \cdot t$ घटाएं.

- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

चरण 6.1.1.2

0

$0$ और

1 \cdot t

$1 \cdot t$ जोड़ें.

- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

चरण 6.1.2

t

$t$ को

1

$1$ से गुणा करें.

- 3 t - 4 t = 9

$- 3 t - 4 t = 9$

चरण 6.1.3

- 3 t

$- 3 t$ में से

4 t

$4 t$ घटाएं.

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$

चरण 6.2

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$ के प्रत्येक पद को

- 7

$- 7$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

- 7 t = 9

$- 7 t = 9$ के प्रत्येक पद को

- 7

$- 7$ से विभाजित करें.

\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

चरण 6.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

- 7

$- 7$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

चरण 6.2.2.1.2

$t$ को

$1$ से विभाजित करें.

$t = \frac{9}{- 7}$

चरण 6.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$t = - \frac{9}{7}$

चरण 7

$x$ ,

$y$ और

$z$ के पैरामीट्रिक समीकरणों को

$t$ के मान का उपयोग करके हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

कोष्ठक हटा दें.

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

चरण 7.1.2

कोष्ठक हटा दें.

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

चरण 7.1.3

$0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1

$- 3 (- \frac{9}{7})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1.1

$- 1$ को

$- 3$ से गुणा करें.

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

चरण 7.1.3.1.2

$3$ और

$\frac{9}{7}$ को मिलाएं.

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

चरण 7.1.3.1.3

$3$ को

$9$ से गुणा करें.

$x = 0 + \frac{27}{7}$

चरण 7.1.3.2

$0$ और

$\frac{27}{7}$ जोड़ें.

$x = \frac{27}{7}$

चरण 7.2

$y$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

चरण 7.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

चरण 7.2.3

$0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$- \frac{9}{7}$ को

$1$ से गुणा करें.

$y = 0 - \frac{9}{7}$

चरण 7.2.3.2

$0$ में से

$\frac{9}{7}$ घटाएं.

$y = - \frac{9}{7}$

चरण 7.3

$z$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

कोष्ठक हटा दें.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

चरण 7.3.2

कोष्ठक हटा दें.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

चरण 7.3.3

$0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.1

$0 (- \frac{9}{7})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.3.1.1

$- 1$ को

$0$ से गुणा करें.

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

चरण 7.3.3.1.2

$0$ को

$\frac{9}{7}$ से गुणा करें.

$z = 0 + 0$

चरण 7.3.3.2

$0$ और

$0$ जोड़ें.

$z = 0$

चरण 7.4

$x$ ,

$y$ और

$z$ के लिए हल किए गए पैरामीट्रिक समीकरण.

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

चरण 8

$x$ ,

$y$ और

$z$ के लिए परिकलित मानों का उपयोग करते हुए, प्रतिच्छेदन बिंदु

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ पता किया जाता है.

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$