लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

[\begin{matrix} 3 e^{t} & e^{2 t} 2 e^{t} & 2 e^{2 t} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 e^{t} & e^{2 t} \\ 2 e^{t} & 2 e^{2 t} \end{array}]$

चरण 1

The inverse of a

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

$a d - b c$ is the determinant.

चरण 2

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$3 e^{t} (2 e^{2 t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

चरण 2.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$3 \cdot 2 e^{t} e^{2 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

चरण 2.2.1.2

घातांक जोड़कर

$e^{t}$ को

$e^{2 t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

$e^{2 t}$ ले जाएं.

$3 \cdot 2 (e^{2 t} e^{t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

चरण 2.2.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 \cdot 2 e^{2 t + t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

चरण 2.2.1.2.3

$2 t$ और

$t$ जोड़ें.

$3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

चरण 2.2.1.3

$3$ को

$2$ से गुणा करें.

$6 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

चरण 2.2.1.4

घातांक जोड़कर

$e^{t}$ को

$e^{2 t}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.4.1

$e^{2 t}$ ले जाएं.

$6 e^{3 t} - 2 (e^{2 t} e^{t})$

चरण 2.2.1.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 e^{3 t} - 2 e^{2 t + t}$

चरण 2.2.1.4.3

$2 t$ और

$t$ जोड़ें.

$6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}$

चरण 2.2.2

$6 e^{3 t}$ में से

$2 e^{3 t}$ घटाएं.

$4 e^{3 t}$

चरण 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

चरण 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{4 e^{3 t}} [\begin{array}{c} 2 e^{2 t} & - e^{2 t} \\ - 2 e^{t} & 3 e^{t} \end{array}]$

चरण 5

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से

$\frac{1}{4 e^{3 t}}$ को गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 e^{3 t}} (2 e^{2 t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$4 e^{3 t}$ में से

$2$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.3

$\frac{1}{2 e^{3 t}}$ और

$e^{2 t}$ को मिलाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.4

$e^{2 t}$ और

$e^{3 t}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$e^{2 t}$ में से

$e^{3 t}$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

$2 e^{3 t}$ में से

$e^{3 t}$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.6

$e^{2 t}$ और

$\frac{1}{4 e^{3 t}}$ को मिलाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{2 t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.7

$e^{2 t}$ और

$e^{3 t}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$e^{2 t}$ में से

$e^{3 t}$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.2.1

$4 e^{3 t}$ में से

$e^{3 t}$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.8

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.9

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.1

$- 2$ में से

$2$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.9.2

$4 e^{3 t}$ में से

$2$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.9.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.9.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.10

$e^{t}$ और

$\frac{1}{2 e^{3 t}}$ को मिलाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.11

$e^{t}$ और

$e^{3 t}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.11.1

$e^{t}$ में से

$e^{3 t}$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.11.2.1

$2 e^{3 t}$ में से

$e^{3 t}$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

चरण 6.12

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & 3 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

चरण 6.13

$3$ और

$\frac{1}{4 e^{3 t}}$ को मिलाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

चरण 6.14

$\frac{3}{4 e^{3 t}}$ और

$e^{t}$ को मिलाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{t}}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

चरण 6.15

$e^{t}$ और

$e^{3 t}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.15.1

$3 e^{t}$ में से

$e^{3 t}$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

चरण 6.15.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.15.2.1

$4 e^{3 t}$ में से

$e^{3 t}$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

चरण 6.15.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

चरण 6.15.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{- 2 t}}{4} \end{array}]$