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लीनियर एलजेब्रा उदाहरण
[1101]
चरण 1
चरण 1.1
अभिलक्षणिक समीकरण p(λ) ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.
p(λ)=सारणिक(A-λI2)
चरण 1.2
सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स 2 2×2 वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.
[1001]
चरण 1.3
ज्ञात मानों को p(λ)=सारणिक(A-λI2) में प्रतिस्थापित करें.
चरण 1.3.1
[1101] को A से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([1101]-λI2)
चरण 1.3.2
[1001] को I2 से प्रतिस्थापित करें.
p(λ)=सारणिक([1101]-λ[1001])
p(λ)=सारणिक([1101]-λ[1001])
चरण 1.4
सरल करें.
चरण 1.4.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.4.1.1
मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से -λ को गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([1101]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2
मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.
चरण 1.4.1.2.1
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([1101]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.2
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.2.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([1101]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.2.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([1101]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([1101]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.3
-λ⋅0 गुणा करें.
चरण 1.4.1.2.3.1
0 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([1101]+[-λ00λ-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.3.2
0 को λ से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([1101]+[-λ00-λ⋅1])
p(λ)=सारणिक([1101]+[-λ00-λ⋅1])
चरण 1.4.1.2.4
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=सारणिक([1101]+[-λ00-λ])
p(λ)=सारणिक([1101]+[-λ00-λ])
p(λ)=सारणिक([1101]+[-λ00-λ])
चरण 1.4.2
संबंधित तत्वों को जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[1-λ1+00+01-λ]
चरण 1.4.3
Simplify each element.
चरण 1.4.3.1
1 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[1-λ10+01-λ]
चरण 1.4.3.2
0 और 0 जोड़ें.
p(λ)=सारणिक[1-λ101-λ]
p(λ)=सारणिक[1-λ101-λ]
p(λ)=सारणिक[1-λ101-λ]
चरण 1.5
Find the determinant.
चरण 1.5.1
2×2 मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र |abcd|=ad-cb का उपयोग करके पता किया जा सकता है.
p(λ)=(1-λ)(1-λ)+0⋅1
चरण 1.5.2
सारणिक को सरल करें.
चरण 1.5.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.2.1.1
FOIL विधि का उपयोग करके (1-λ)(1-λ) का प्रसार करें.
चरण 1.5.2.1.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=1(1-λ)-λ(1-λ)+0⋅1
चरण 1.5.2.1.1.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=1⋅1+1(-λ)-λ(1-λ)+0⋅1
चरण 1.5.2.1.1.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
p(λ)=1⋅1+1(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)+0⋅1
p(λ)=1⋅1+1(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)+0⋅1
चरण 1.5.2.1.2
समान पदों को सरल और संयोजित करें.
चरण 1.5.2.1.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.5.2.1.2.1.1
1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=1+1(-λ)-λ⋅1-λ(-λ)+0⋅1
चरण 1.5.2.1.2.1.2
-λ को 1 से गुणा करें.
p(λ)=1-λ-λ⋅1-λ(-λ)+0⋅1
चरण 1.5.2.1.2.1.3
-1 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=1-λ-λ-λ(-λ)+0⋅1
चरण 1.5.2.1.2.1.4
गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.
p(λ)=1-λ-λ-1⋅-1λ⋅λ+0⋅1
चरण 1.5.2.1.2.1.5
घातांक जोड़कर λ को λ से गुणा करें.
चरण 1.5.2.1.2.1.5.1
λ ले जाएं.
p(λ)=1-λ-λ-1⋅-1(λ⋅λ)+0⋅1
चरण 1.5.2.1.2.1.5.2
λ को λ से गुणा करें.
p(λ)=1-λ-λ-1⋅-1λ2+0⋅1
p(λ)=1-λ-λ-1⋅-1λ2+0⋅1
चरण 1.5.2.1.2.1.6
-1 को -1 से गुणा करें.
p(λ)=1-λ-λ+1λ2+0⋅1
चरण 1.5.2.1.2.1.7
λ2 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=1-λ-λ+λ2+0⋅1
p(λ)=1-λ-λ+λ2+0⋅1
चरण 1.5.2.1.2.2
-λ में से λ घटाएं.
p(λ)=1-2λ+λ2+0⋅1
p(λ)=1-2λ+λ2+0⋅1
चरण 1.5.2.1.3
0 को 1 से गुणा करें.
p(λ)=1-2λ+λ2+0
p(λ)=1-2λ+λ2+0
चरण 1.5.2.2
1-2λ+λ2 और 0 जोड़ें.
p(λ)=1-2λ+λ2
चरण 1.5.2.3
1 ले जाएं.
p(λ)=-2λ+λ2+1
चरण 1.5.2.4
-2λ और λ2 को पुन: क्रमित करें.
p(λ)=λ2-2λ+1
p(λ)=λ2-2λ+1
p(λ)=λ2-2λ+1
चरण 1.6
आइगेन मान λ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को 0 के बराबर सेट करें.
λ2-2λ+1=0
चरण 1.7
λ के लिए हल करें.
चरण 1.7.1
पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.
चरण 1.7.1.1
1 को 12 के रूप में फिर से लिखें.
λ2-2λ+12=0
चरण 1.7.1.2
जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.
2λ=2⋅λ⋅1
चरण 1.7.1.3
बहुपद को फिर से लिखें.
λ2-2⋅λ⋅1+12=0
चरण 1.7.1.4
पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम a2-2ab+b2=(a-b)2 का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ a=λ और b=1 है.
(λ-1)2=0
(λ-1)2=0
चरण 1.7.2
λ-1 को 0 के बराबर सेट करें.
λ-1=0
चरण 1.7.3
समीकरण के दोनों पक्षों में 1 जोड़ें.
λ=1
λ=1
λ=1
चरण 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI2)
चरण 3
चरण 3.1
ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.
N([1101]-[1001])
चरण 3.2
सरल करें.
चरण 3.2.1
संबंधित तत्वों को घटाएं.
[1-11-00-01-1]
चरण 3.2.2
Simplify each element.
चरण 3.2.2.1
1 में से 1 घटाएं.
[01-00-01-1]
चरण 3.2.2.2
1 में से 0 घटाएं.
[010-01-1]
चरण 3.2.2.3
0 में से 0 घटाएं.
[0101-1]
चरण 3.2.2.4
1 में से 1 घटाएं.
[0100]
[0100]
[0100]
चरण 3.3
Find the null space when λ=1.
चरण 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[010000]
चरण 3.3.2
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
y=0
0=0
चरण 3.3.3
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[x0]
चरण 3.3.4
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=x[10]
चरण 3.3.5
Write as a solution set.
{x[10]|x∈R}
चरण 3.3.6
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[10]}
{[10]}
{[10]}
चरण 4
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[10]}