लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ x \end{array}]$

चरण 1

परिवर्तन एक मानचित्र को $ℝ^{2}$ से $ℝ^{2}$ तक परिभाषित करता है. यह साबित करने के लिए कि परिवर्तन रैखिक है, परिवर्तन को अदिश गुणन, जोड़ और शून्य सदिश को संरक्षित करना चाहिए.

M: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

चरण 2

पहले साबित करें कि परिवर्तन इस संपत्ति को संरक्षित करता है.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

चरण 3

अतिरिक्त गुण $M$ के लिए संरक्षित है, इसका परीक्षण करने के लिए दो मैट्रिक्स सेट करें.

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

चरण 4

दो आव्यूहों को जोड़े.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

चरण 5

सदिश में परिवर्तन लागू करें.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} + y_{2} \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

चरण 6

चरों को समूहित करके परिणाम को दो आव्यूहों में विभाजित करें.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{2} \\ y_{1} \end{array}]$

चरण 7

परिवर्तन का संयोजन गुणधर्म सत्य है.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

चरण 8

परिवर्तन के लिए रैखिक होने के लिए, इसे अदिश गुणन बनाएं रखना चाहिए.

$M (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

चरण 9

प्रत्येक अवयव के $p$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मैट्रिक्स में प्रत्येक अवयव से $p$ को गुणा करें.

$M (p x) = M ([\begin{array}{c} p x \\ p y \end{array}])$

चरण 9.2

सदिश में परिवर्तन लागू करें.

चरण 9.3

$p y$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$M (p x) = [\begin{array}{c} p y \end{array}]$

चरण 9.4

$p y$ से गुणा करके अवयव $0, 0$ का गुणनखंड करें.

$M (p x) = [\begin{array}{c} p (y) \end{array}]$

चरण 10

इस परिवर्तन में रैखिक परिवर्तनों की दूसरे गुणधर्म संरक्षित है.

$M (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]) = p M (x)$

चरण 11

परिवर्तन के रैखिक होने के लिए, शून्य वेक्टर को संरक्षित किया जाना चाहिए.

$M (0) = 0$

चरण 12

सदिश में परिवर्तन लागू करें.

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

चरण 13

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$0$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

चरण 13.2

$0$ को पुनर्व्यवस्थित करें.

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

चरण 14

शून्य सदिश परिवर्तन द्वारा संरक्षित है.

$M (0) = 0$

चरण 15

चूंकि रैखिक परिवर्तनों के सभी तीन गुण पूरे नहीं होते हैं, यह एक रैखिक परिवर्तन नहीं है.

रैखिक परिवर्तन