लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}]$

चरण 1

अभिलाक्षणिक मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अभिलक्षणिक समीकरण $p (λ)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.

$p (λ) = सारणिक (A - λ I_{3})$

चरण 1.2

सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स $3$ $3 \times 3$ वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 1.3

ज्ञात मानों को $p (λ) = सारणिक (A - λ I_{3})$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}]$ को $A$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

चरण 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ को $I_{3}$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $- λ$ को गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.2.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.2.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.3.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.3.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.4.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.4.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.6.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.6.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.7.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.7.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.8.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.8.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 1.4.1.2.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

चरण 1.4.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

चरण 1.4.3

Simplify each element.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

चरण 1.4.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

चरण 1.4.3.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

चरण 1.4.3.4

$1$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

चरण 1.4.3.5

$0$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

चरण 1.4.3.6

$5$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - λ \end{array}]$

चरण 1.5

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

चरण 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

चरण 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

चरण 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

चरण 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

चरण 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

चरण 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

चरण 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

चरण 1.5.2

$0$ को $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

चरण 1.5.3

$0$ को $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0$

चरण 1.5.4

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(3 - λ) (- 1 - λ)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = (1 - λ) (3 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot - 1 + 3 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot - 1 + 3 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.2.1.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 + 3 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.1.2.1.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.1.2.1.3

$- λ \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.2.1.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + 1 λ - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.1.2.1.3.2

$λ$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.1.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.1.2.1.5

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ + 1 λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ + λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.1.2.2

$- 3 λ$ और $λ$ जोड़ें.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 2 λ + λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.1.3

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 2 λ + λ^{2} - 5) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.2

$- 3$ में से $5$ घटाएं.

$p (λ) = (1 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 8) + 0 + 0$

चरण 1.5.4.2.3

$- 2 λ$ और $λ^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0 + 0$

चरण 1.5.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.5.1

$(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0 + 0$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.5.1.1

$(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0$

चरण 1.5.5.1.2

$(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$

चरण 1.5.5.2

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ का प्रसार करें.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

चरण 1.5.5.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.5.3.1

$λ^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

चरण 1.5.5.3.2

$- 2 λ$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

चरण 1.5.5.3.3

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

चरण 1.5.5.3.4

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.5.3.4.1

$λ^{2}$ ले जाएं.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

चरण 1.5.5.3.4.2

$λ^{2}$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.5.3.4.2.1

$λ$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

चरण 1.5.5.3.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

चरण 1.5.5.3.4.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

चरण 1.5.5.3.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot - 8$

चरण 1.5.5.3.6

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.5.3.6.1

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 8$

चरण 1.5.5.3.6.2

$λ$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot - 8$

चरण 1.5.5.3.7

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot - 8$

चरण 1.5.5.3.8

$- 8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 8 λ$

चरण 1.5.5.4

$λ^{2}$ और $2 λ^{2}$ जोड़ें.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 8 λ$

चरण 1.5.5.5

$- 2 λ$ और $8 λ$ जोड़ें.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 6 λ - 8 - λ^{3}$

चरण 1.5.5.6

$- 8$ ले जाएं.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 6 λ - λ^{3} - 8$

चरण 1.5.5.7

$6 λ$ ले जाएं.

$p (λ) = 3 λ^{2} - λ^{3} + 6 λ - 8$

चरण 1.5.5.8

$3 λ^{2}$ और $- λ^{3}$ को पुन: क्रमित करें.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} + 6 λ - 8$

चरण 1.6

आइगेन मान $λ$ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को $0$ के बराबर सेट करें.

$- λ^{3} + 3 λ^{2} + 6 λ - 8 = 0$

चरण 1.7

$λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$- λ^{3} - 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

चरण 1.7.1.2

$- λ^{3} - 8$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.2.1

$- λ^{3}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (λ^{3}) - 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

चरण 1.7.1.2.2

$- 8$ को $- 1 (8)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (λ^{3}) - 1 \cdot 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

चरण 1.7.1.2.3

$- (λ^{3}) - 1 (8)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (λ^{3} + 8) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

चरण 1.7.1.3

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (λ^{3} + 2^{3}) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

चरण 1.7.1.4

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = λ$ और $b = 2$ .

$- ((λ + 2) (λ^{2} - λ \cdot 2 + 2^{2})) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

चरण 1.7.1.5

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.5.1.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- ((λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 2^{2})) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

चरण 1.7.1.5.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- ((λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4)) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

चरण 1.7.1.5.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

चरण 1.7.1.6

$3 λ^{2} + 6 λ$ में से $3 λ$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.6.1

$3 λ^{2}$ में से $3 λ$ का गुणनखंड करें.

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ) + 6 λ = 0$

चरण 1.7.1.6.2

$6 λ$ में से $3 λ$ का गुणनखंड करें.

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ) + 3 λ (2) = 0$

चरण 1.7.1.6.3

$3 λ (λ) + 3 λ (2)$ में से $3 λ$ का गुणनखंड करें.

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ + 2) = 0$

चरण 1.7.1.7

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ + 2)$ में से $λ + 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.7.1

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4)$ में से $λ + 2$ का गुणनखंड करें.

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + 3 λ (λ + 2) = 0$

चरण 1.7.1.7.2

$3 λ (λ + 2)$ में से $λ + 2$ का गुणनखंड करें.

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + (λ + 2) (3 λ) = 0$

चरण 1.7.1.7.3

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + (λ + 2) (3 λ)$ में से $λ + 2$ का गुणनखंड करें.

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ) = 0$

चरण 1.7.1.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(λ + 2) (- 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

चरण 1.7.1.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.9.1

$- 1 λ^{2}$ को $- λ^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(λ + 2) (- λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

चरण 1.7.1.9.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

चरण 1.7.1.9.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 2 λ - 4 + 3 λ) = 0$

चरण 1.7.1.10

$2 λ$ और $3 λ$ जोड़ें.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 5 λ - 4) = 0$

चरण 1.7.1.11

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.11.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.11.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ है और जिसका योग $b = 5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.11.1.1.1

$5 λ$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 5 (λ) - 4) = 0$

चरण 1.7.1.11.1.1.2

$5$ को $1$ जोड़ $4$ के रूप में फिर से लिखें

$(λ + 2) (- λ^{2} + (1 + 4) λ - 4) = 0$

चरण 1.7.1.11.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 1 λ + 4 λ - 4) = 0$

चरण 1.7.1.11.1.1.4

$λ$ को $1$ से गुणा करें.

$(λ + 2) (- λ^{2} + λ + 4 λ - 4) = 0$

चरण 1.7.1.11.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.11.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(λ + 2) ((- λ^{2} + λ) + 4 λ - 4) = 0$

चरण 1.7.1.11.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(λ + 2) (λ (- λ + 1) - 4 (- λ + 1)) = 0$

चरण 1.7.1.11.1.3

महत्तम समापवर्तक, $- λ + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(λ + 2) ((- λ + 1) (λ - 4)) = 0$

चरण 1.7.1.11.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(λ + 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$

चरण 1.7.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$λ + 2 = 0$

$- λ + 1 = 0$

$λ - 4 = 0$

चरण 1.7.3

$λ + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.3.1

$λ + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$λ + 2 = 0$

चरण 1.7.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$λ = - 2$

चरण 1.7.4

$- λ + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

$- λ + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- λ + 1 = 0$

चरण 1.7.4.2

$λ$ के लिए $- λ + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- λ = - 1$

चरण 1.7.4.2.2

$- λ = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.2.2.1

$- λ = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.7.4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.7.4.2.2.2.2

$λ$ को $1$ से विभाजित करें.

$λ = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.7.4.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.2.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$λ = 1$

चरण 1.7.5

$λ - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.5.1

$λ - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$λ - 4 = 0$

चरण 1.7.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$λ = 4$

चरण 1.7.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(λ + 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$λ = - 2, 1, 4$

चरण 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

चरण 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $2$ को गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2.2

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2.4

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2.6

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2.7

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2.8

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 3.2.1.2.9

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

चरण 3.2.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 1 + 2 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

चरण 3.2.3

Simplify each element.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$1$ और $2$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

चरण 3.2.3.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

चरण 3.2.3.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

चरण 3.2.3.4

$0$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

चरण 3.2.3.5

$3$ और $2$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

चरण 3.2.3.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

चरण 3.2.3.7

$0$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

चरण 3.2.3.8

$5$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 + 2 \end{array}]$

चरण 3.2.3.9

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{array}]$

चरण 3.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2.1.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{1}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2.2.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 1 - 5 (\frac{1}{5}) & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2.3.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.2.4.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y + \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

चरण 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ - \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

चरण 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

चरण 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

चरण 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

चरण 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

संबंधित तत्वों को घटाएं.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 2 - 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

चरण 4.2.2

Simplify each element.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 - 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

चरण 4.2.2.2

$2$ में से $0$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

चरण 4.2.2.3

$1$ में से $0$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

चरण 4.2.2.4

$0$ में से $0$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

चरण 4.2.2.5

$3$ में से $1$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

चरण 4.2.2.6

$1$ में से $0$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

चरण 4.2.2.7

$0$ में से $0$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

चरण 4.2.2.8

$5$ में से $0$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - 1 \end{array}]$

चरण 4.2.2.9

$- 1$ में से $1$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & - 2 \end{array}]$

चरण 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2.1.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 2$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2.2.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 2 - 5 (\frac{1}{2}) & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2.3.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{2} & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{9}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{9}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{2}{9} \cdot 0 & - \frac{2}{9} \cdot 0 & - \frac{2}{9} (- \frac{9}{2}) & - \frac{2}{9} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2.5.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2.6.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

चरण 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

चरण 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

चरण 4.3.6

Write as a solution set.

${x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x \in R}$

चरण 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

चरण 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $- 4$ को गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 5.2.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 5.2.1.2.2

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 5.2.1.2.3

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 5.2.1.2.4

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 5.2.1.2.5

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 5.2.1.2.6

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 5.2.1.2.7

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 5.2.1.2.8

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 5.2.1.2.9

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

चरण 5.2.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$[\begin{array}{c} 1 - 4 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

चरण 5.2.3

Simplify each element.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$1$ में से $4$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

चरण 5.2.3.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

चरण 5.2.3.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

चरण 5.2.3.4

$0$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

चरण 5.2.3.5

$3$ में से $4$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

चरण 5.2.3.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

चरण 5.2.3.7

$0$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

चरण 5.2.3.8

$5$ और $0$ जोड़ें.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - 4 \end{array}]$

चरण 5.2.3.9

$- 1$ में से $4$ घटाएं.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 5 \end{array}]$

चरण 5.3

Find the null space when $λ = 4$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

चरण 5.3.2

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

चरण 5.3.2.1.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

चरण 5.3.2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

चरण 5.3.2.2.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

चरण 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 5 - 5 \cdot - 1 & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

चरण 5.3.2.3.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 5.3.2.4.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

चरण 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

चरण 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

चरण 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

चरण 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

चरण 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$