लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}]$

चरण 1

अभिलक्षणिक समीकरण $p (λ)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र सेट करें.

$p (λ) = सारणिक (A - λ I_{3})$

चरण 2

सर्वसमिका मैट्रिक्स या आकार की इकाई मैट्रिक्स $3$ $3 \times 3$ वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण और शून्य कहीं और होते हैं.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 3

ज्ञात मानों को $p (λ) = सारणिक (A - λ I_{3})$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}]$ को $A$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

चरण 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ को $I_{3}$ से प्रतिस्थापित करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से $- λ$ को गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.2.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.3.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.4.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.4.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.6.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.6.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.7.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.7.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.8.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.8.2

$0$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

चरण 4.1.2.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = सारणिक ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

चरण 4.2

संबंधित तत्वों को जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

चरण 4.3

Simplify each element.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 1$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

चरण 4.3.2

$- 2$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

चरण 4.3.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

चरण 4.3.4

$2$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

चरण 4.3.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ 1 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

चरण 4.3.6

$- 1$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = सारणिक [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \end{array}]$

चरण 5

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

चरण 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

चरण 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

चरण 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

चरण 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

चरण 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (2 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(3 - λ) (2 - λ)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = (1 - λ) (3 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot 2 + 3 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot 2 + 3 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.2.1.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (6 + 3 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2.1.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2.1.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2.1.5

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.2.1.5.1

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2.1.5.2

$λ$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2.1.6

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.2.2

$- 3 λ$ में से $2 λ$ घटाएं.

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.3

$- (- 1 \cdot 2)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.3.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - - 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.1.3.2

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} + 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.2

$6$ और $2$ जोड़ें.

$p (λ) = (1 - λ) (- 5 λ + λ^{2} + 8) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.2.2.3

$- 5 λ$ और $λ^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.3

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (1 (2 - λ) - 1 \cdot 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.3.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

$2 - λ$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (2 - λ - 1 \cdot 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.3.2.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (2 - λ - 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.3.2.2

$2 - λ - 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

$2$ में से $2$ घटाएं.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.3.2.2.2

$- λ$ और $0$ जोड़ें.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 5.4

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (1 \cdot - 1 - (3 - λ))$

चरण 5.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - (3 - λ))$

चरण 5.4.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 1 \cdot 3 - - λ)$

चरण 5.4.2.1.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 3 - - λ)$

चरण 5.4.2.1.4

$- - λ$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 3 + 1 λ)$

चरण 5.4.2.1.4.2

$λ$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 3 + λ)$

चरण 5.4.2.2

$- 1$ में से $3$ घटाएं.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 4 + λ)$

चरण 5.4.2.3

$- 4$ और $λ$ को पुन: क्रमित करें.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8)$ का प्रसार करें.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 5 λ) + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.2.1

$λ^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 5 λ) + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.2.2

$- 5 λ$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.2.3

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.2.4

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.2.4.1

$λ^{2}$ ले जाएं.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.2.4.2

$λ^{2}$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.2.4.2.1

$λ$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.2.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.2.4.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.2.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ \cdot λ - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.2.6

घातांक जोड़कर $λ$ को $λ$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.2.6.1

$λ$ ले जाएं.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.2.6.2

$λ$ को $λ$ से गुणा करें.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ^{2} - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.2.7

$- 1$ को $- 5$ से गुणा करें.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} + 5 λ^{2} - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.2.8

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.3

$λ^{2}$ और $5 λ^{2}$ जोड़ें.

$p (λ) = 6 λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 8 λ + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.4

$- 5 λ$ में से $8 λ$ घटाएं.

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.5

$- λ$ को $1$ से गुणा करें.

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} - λ - 2 (λ - 4)$

चरण 5.5.1.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} - λ - 2 λ - 2 \cdot - 4$

चरण 5.5.1.7

$- 2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} - λ - 2 λ + 8$

चरण 5.5.2

$- 13 λ$ में से $λ$ घटाएं.

$p (λ) = 6 λ^{2} - 14 λ + 8 - λ^{3} - 2 λ + 8$

चरण 5.5.3

$- 14 λ$ में से $2 λ$ घटाएं.

$p (λ) = 6 λ^{2} - 16 λ + 8 - λ^{3} + 8$

चरण 5.5.4

$8$ और $8$ जोड़ें.

$p (λ) = 6 λ^{2} - 16 λ - λ^{3} + 16$

चरण 5.5.5

$- 16 λ$ ले जाएं.

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ^{3} - 16 λ + 16$

चरण 5.5.6

$6 λ^{2}$ और $- λ^{3}$ को पुन: क्रमित करें.

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$

चरण 6

आइगेन मान $λ$ निकालने के लिए विशेषता बहुपद को $0$ के बराबर सेट करें.

$- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16 = 0$

चरण 7

$λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

चरण 7.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

चरण 7.1.3

$2$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $2$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1

$2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$- 2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 16$

चरण 7.1.3.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 \cdot 8 + 6 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 16$

चरण 7.1.3.3

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$- 8 + 6 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 16$

चरण 7.1.3.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 8 + 6 \cdot 4 - 16 \cdot 2 + 16$

चरण 7.1.3.5

$6$ को $4$ से गुणा करें.

$- 8 + 24 - 16 \cdot 2 + 16$

चरण 7.1.3.6

$- 8$ और $24$ जोड़ें.

$16 - 16 \cdot 2 + 16$

चरण 7.1.3.7

$- 16$ को $2$ से गुणा करें.

$16 - 32 + 16$

चरण 7.1.3.8

$16$ में से $32$ घटाएं.

$- 16 + 16$

चरण 7.1.3.9

$- 16$ और $16$ जोड़ें.

$0$

चरण 7.1.4

चूँकि $2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $λ - 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16}{λ - 2}$

चरण 7.1.5

$- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$ को $λ - 2$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

चरण 7.1.5.2

भाज्य $- λ^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $λ$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$

चरण 7.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

चरण 7.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- λ^{3} + 2 λ^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

चरण 7.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$

चरण 7.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$

चरण 7.1.5.7

भाज्य $4 λ^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $λ$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$

चरण 7.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

चरण 7.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $4 λ^{2} - 8 λ$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$

चरण 7.1.5.10

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$

चरण 7.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$

चरण 7.1.5.12

भाज्य $- 8 λ$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $λ$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$

चरण 7.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$
							-	$8 λ$	+	$16$

चरण 7.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 8 λ + 16$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$
							+	$8 λ$	-	$16$

चरण 7.1.5.15

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$
							+	$8 λ$	-	$16$
										$0$

चरण 7.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$- λ^{2} + 4 λ - 8$

चरण 7.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$ लिखें.

$(λ - 2) (- λ^{2} + 4 λ - 8) = 0$

चरण 7.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$λ - 2 = 0$

$- λ^{2} + 4 λ - 8 = 0$

चरण 7.3

$λ - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$λ - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$λ - 2 = 0$

चरण 7.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$λ = 2$

चरण 7.4

$- λ^{2} + 4 λ - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें और $λ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$- λ^{2} + 4 λ - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- λ^{2} + 4 λ - 8 = 0$

चरण 7.4.2

$λ$ के लिए $- λ^{2} + 4 λ - 8 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 7.4.2.2

द्विघात सूत्र में $a = - 1$ , $b = 4$ और $c = - 8$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $λ$ के लिए हल करें.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1.2.1

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.2.2

$4$ को $- 8$ से गुणा करें.

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.3

$16$ में से $32$ घटाएं.

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.4

$- 16$ को $- 1 (16)$ के रूप में फिर से लिखें.

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ के रूप में फिर से लिखें.

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$λ = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.7

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$λ = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$λ = \frac{- 4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.1.9

$4$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$λ = \frac{- 4 \pm 4 i}{2 \cdot - 1}$

चरण 7.4.2.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$λ = \frac{- 4 \pm 4 i}{- 2}$

चरण 7.4.2.3.3

$\frac{- 4 \pm 4 i}{- 2}$ को सरल करें.

$λ = 2 \pm 2 i$

चरण 7.4.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$λ = 2 + 2 i, 2 - 2 i$

चरण 7.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(λ - 2) (- λ^{2} + 4 λ - 8) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$λ = 2, 2 + 2 i, 2 - 2 i$