लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

8 x + 6 y = - 4

$8 x + 6 y = - 4$ ,

9 x - 6 y = - 81

$9 x - 6 y = - 81$

चरण 1

समीकरणों की प्रणाली से

A X = B

$A X = B$ पता करें.

[\begin{matrix} 8 & 6 9 & - 6 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 4 - 81 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ 9 & - 6 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 81 \end{array}]$

चरण 2

गुणांक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

चरण 2.2

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

2 \times 2

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

8 \cdot - 6 - 9 \cdot 6

$8 \cdot - 6 - 9 \cdot 6$

चरण 2.2.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

8

$8$ को

- 6

$- 6$ से गुणा करें.

- 48 - 9 \cdot 6

$- 48 - 9 \cdot 6$

चरण 2.2.2.1.2

- 9

$- 9$ को

6

$6$ से गुणा करें.

- 48 - 54

$- 48 - 54$

- 48 - 54

$- 48 - 54$

चरण 2.2.2.2

- 48

$- 48$ में से

54

$54$ घटाएं.

- 102

$- 102$

- 102

$- 102$

- 102

$- 102$

चरण 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

चरण 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{- 102} [\begin{matrix} - 6 & - 6 - 9 & 8 \end{matrix}]

$\frac{1}{- 102} [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ - 9 & 8 \end{array}]$

चरण 2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

- \frac{1}{102} [\begin{matrix} - 6 & - 6 - 9 & 8 \end{matrix}]

$- \frac{1}{102} [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ - 9 & 8 \end{array}]$

चरण 2.6

मैट्रिक्स के प्रत्येक अवयव से

- \frac{1}{102}

$- \frac{1}{102}$ को गुणा करें.

[\begin{matrix} - \frac{1}{102} \cdot - 6 & - \frac{1}{102} \cdot - 6 - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{102} \cdot - 6 & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7

मैट्रिक्स में प्रत्येक तत्व को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

6

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.1

- \frac{1}{102}

$- \frac{1}{102}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

[\begin{matrix} \frac{- 1}{102} \cdot - 6 & - \frac{1}{102} \cdot - 6 - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{102} \cdot - 6 & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.1.2

102

$102$ में से

6

$6$ का गुणनखंड करें.

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{- 1}{6 (17)} \cdot - 6 & - \frac{1}{102} \cdot - 6 - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 (17)} \cdot - 6 & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.1.3

- 6

$- 6$ में से

6

$6$ का गुणनखंड करें.

[\begin{matrix} \frac{- 1}{6 \cdot 17} \cdot (6 \cdot - 1) & - \frac{1}{102} \cdot - 6 - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 \cdot 17} \cdot (6 \cdot - 1) & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.1.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 \cdot 17} \cdot (6 \cdot - 1) & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.1.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{17} \cdot - 1 & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.2

$\frac{- 1}{17}$ और

$- 1$ को मिलाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{17} & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.3

$- 1$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & - \frac{1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.4

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.4.1

$- \frac{1}{102}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{- 1}{102} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.4.2

$102$ में से

$6$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{- 1}{6 (17)} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.4.3

$- 6$ में से

$6$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{- 1}{6 \cdot 17} \cdot (6 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.4.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{- 1}{6 \cdot 17} \cdot (6 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.4.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{- 1}{17} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.5

$\frac{- 1}{17}$ और

$- 1$ को मिलाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{- - 1}{17} \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.6

$- 1$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ - \frac{1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.7

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.7.1

$- \frac{1}{102}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{- 1}{102} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.7.2

$102$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{- 1}{3 (34)} \cdot - 9 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.7.3

$- 9$ में से

$3$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 34} \cdot (3 \cdot - 3) & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.7.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 34} \cdot (3 \cdot - 3) & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.7.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{- 1}{34} \cdot - 3 & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.8

$\frac{- 1}{34}$ और

$- 3$ को मिलाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{- - 3}{34} & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.9

$- 1$ को

$- 3$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & - \frac{1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.10

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.10.1

$- \frac{1}{102}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & \frac{- 1}{102} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.10.2

$102$ में से

$2$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & \frac{- 1}{2 (51)} \cdot 8 \end{array}]$

चरण 2.7.10.3

$8$ में से

$2$ का गुणनखंड करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & \frac{- 1}{2 \cdot 51} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

चरण 2.7.10.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & \frac{- 1}{2 \cdot 51} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

चरण 2.7.10.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & \frac{- 1}{51} \cdot 4 \end{array}]$

चरण 2.7.11

$\frac{- 1}{51}$ और

$4$ को मिलाएं.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & \frac{- 1 \cdot 4}{51} \end{array}]$

चरण 2.7.12

$- 1$ को

$4$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & \frac{- 4}{51} \end{array}]$

चरण 2.7.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & - \frac{4}{51} \end{array}]$

चरण 3

बाएं मैट्रिक्स समीकरण के दोनों पक्षों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स से गुणा करें.

$([\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & - \frac{4}{51} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 & 6 \\ 9 & - 6 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & - \frac{4}{51} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 4 \\ - 81 \end{array}]$

चरण 4

किसी भी मैट्रिक्स को उसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर, हमेशा

$1$ के बराबर होता है.

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & - \frac{4}{51} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 4 \\ - 81 \end{array}]$

चरण 5

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \\ \frac{3}{34} & - \frac{4}{51} \end{array}] [\begin{array}{c} - 4 \\ - 81 \end{array}]$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 1$ .

चरण 5.2

पहले मैट्रिक्स में प्रत्येक पंक्ति को दूसरे मैट्रिक्स में प्रत्येक कॉलम से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} \cdot - 4 + \frac{1}{17} \cdot - 81 \\ \frac{3}{34} \cdot - 4 - \frac{4}{51} \cdot - 81 \end{array}]$

चरण 5.3

सभी व्यंजकों को गुणा करके आव्यूह के प्रत्येक अवयव को सरल करें.

$[\begin{array}{c} - 5 \\ 6 \end{array}]$

चरण 6

बाएँ और दाएँ पक्ष को सरल करें.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 \\ 6 \end{array}]$

चरण 7

हल/समाधान पता करें.

$x = - 5$

$y = 6$