लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

x + y + z + t = 4

$x + y + z + t = 4$ ,

$2 x - y - z - t = - 1$ ,

$x + y - 2 z = 0$ ,

$3 x + 3 t = 6$

चरण 1

समीकरणों की प्रणाली से

$A X = B$ पता करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

चरण 2

गुणांक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

सारणिक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

सर्वाधिक

$0$ तत्वों वाली पंक्ति या स्तंभ चुनें. यदि कोई

$0$ तत्व नहीं हैं तो कोई भी पंक्ति या कॉलम चुनें. पंक्ति

$4$ में प्रत्येक तत्व को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें और जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

संबंधित साइन चार्ट पर विचार करें.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

चरण 2.1.1.2

यदि संकेतक साइन चार्ट पर

$-$ की स्थिति से मेल खाते हैं तो कोफ़ैक्टर माइनर है, जिसके चिन्ह को बदल दिया गया है.

चरण 2.1.1.3

$a_{41}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति

$4$ और कॉलम

$1$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

चरण 2.1.1.4

तत्व

$a_{41}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

चरण 2.1.1.5

$a_{42}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति

$4$ और कॉलम

$2$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

चरण 2.1.1.6

तत्व

$a_{42}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

चरण 2.1.1.7

$a_{43}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति

$4$ और कॉलम

$3$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

चरण 2.1.1.8

तत्व

$a_{43}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

चरण 2.1.1.9

$a_{44}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति

$4$ और कॉलम

$4$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

चरण 2.1.1.10

तत्व

$a_{44}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

चरण 2.1.1.11

पदों को एक साथ जोड़ें.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

चरण 2.1.2

$0$ को

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ से गुणा करें.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

चरण 2.1.3

$0$ को

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$ से गुणा करें.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

सर्वाधिक

$0$ तत्वों वाली पंक्ति या स्तंभ चुनें. यदि कोई

$0$ तत्व नहीं हैं तो कोई भी पंक्ति या कॉलम चुनें. पंक्ति

$1$ में प्रत्येक तत्व को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें और जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1.1

संबंधित साइन चार्ट पर विचार करें.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 2.1.4.1.2

यदि संकेतक साइन चार्ट पर

चरण 2.1.4.1.3

$a_{11}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति

$1$ और कॉलम

$1$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

चरण 2.1.4.1.4

तत्व

$a_{11}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

चरण 2.1.4.1.5

$a_{12}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति

$1$ और कॉलम

$2$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

चरण 2.1.4.1.6

तत्व

$a_{12}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

चरण 2.1.4.1.7

$a_{13}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति

$1$ और कॉलम

$3$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 2.1.4.1.8

तत्व

$a_{13}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

चरण 2.1.4.1.9

पदों को एक साथ जोड़ें.

$- 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.2

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$- 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.2.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.2.1.1

$- 1$ को

$- 2$ से गुणा करें.

$- 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.2.2.1.2

$- 1$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$- 3 (1 (2 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.2.2.2

$2$ और

$1$ जोड़ें.

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.3

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.3.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (2 \cdot - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.3.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.3.2.1.1

$2$ को

$- 2$ से गुणा करें.

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.3.2.1.2

$- 1$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.3.2.2

$- 4$ और

$1$ जोड़ें.

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.4

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.4.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 \cdot 1 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.4.2.1.1

$2$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.4.2.1.2

$- 1$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 + 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.4.2.2

$2$ और

$1$ जोड़ें.

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.5.1.1

$3$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 3 (3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.5.1.2

$- 1$ को

$- 3$ से गुणा करें.

$- 3 (3 + 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.5.1.3

$3$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 3 (3 + 3 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.5.2

$3$ और

$3$ जोड़ें.

$- 3 (6 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.4.5.3

$6$ और

$3$ जोड़ें.

$- 3 \cdot 9 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 2.1.5

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

सर्वाधिक

$0$ तत्वों वाली पंक्ति या स्तंभ चुनें. यदि कोई

$0$ तत्व नहीं हैं तो कोई भी पंक्ति या कॉलम चुनें. कॉलम

$1$ में प्रत्येक तत्व को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें और जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1.1

संबंधित साइन चार्ट पर विचार करें.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 2.1.5.1.2

यदि संकेतक साइन चार्ट पर

चरण 2.1.5.1.3

$a_{11}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति

$1$ और कॉलम

$1$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

चरण 2.1.5.1.4

तत्व

$a_{11}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

चरण 2.1.5.1.5

$a_{21}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति

$2$ और कॉलम

$1$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

चरण 2.1.5.1.6

तत्व

$a_{21}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

चरण 2.1.5.1.7

$a_{31}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति

$3$ और कॉलम

$1$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 2.1.5.1.8

तत्व

$a_{31}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

चरण 2.1.5.1.9

पदों को एक साथ जोड़ें.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

चरण 2.1.5.2

$0$ को

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ से गुणा करें.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

चरण 2.1.5.3

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.3.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

चरण 2.1.5.3.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.3.2.1.1

$- 1$ को

$- 2$ से गुणा करें.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

चरण 2.1.5.3.2.1.2

$- 1$ को

$- 1$ से गुणा करें.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

चरण 2.1.5.3.2.2

$2$ और

$1$ जोड़ें.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

चरण 2.1.5.4

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.4.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

चरण 2.1.5.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.4.2.1.1

$- 2$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

चरण 2.1.5.4.2.1.2

$- 1$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1) + 0) + 0 + 0$

चरण 2.1.5.4.2.2

$- 2$ में से

$1$ घटाएं.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

चरण 2.1.5.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.5.1.1

$3$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

चरण 2.1.5.5.1.2

$- 3$ को

$1$ से गुणा करें.

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 - 3 + 0) + 0 + 0$

चरण 2.1.5.5.2

$3$ में से

$3$ घटाएं.

$- 3 \cdot 9 + 3 (0 + 0) + 0 + 0$

चरण 2.1.5.5.3

$0$ और

$0$ जोड़ें.

$- 3 \cdot 9 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

चरण 2.1.6

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.6.1.1

$- 3$ को

$9$ से गुणा करें.

$- 27 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

चरण 2.1.6.1.2

$3$ को

$0$ से गुणा करें.

$- 27 + 0 + 0 + 0$

चरण 2.1.6.2

$- 27$ और

$0$ जोड़ें.

$- 27 + 0 + 0$

चरण 2.1.6.3

$- 27$ और

$0$ जोड़ें.

$- 27 + 0$

चरण 2.1.6.4

$- 27$ और

$0$ जोड़ें.

$- 27$

चरण 2.2

चूँकि निर्धारक गैर-शून्य है, व्युत्क्रम अस्तित्व में है.

चरण 2.3

एक

$4 \times 8$ मैट्रिक्स सेट करें जहां बायां आधा मूल मैट्रिक्स है और दायां आधा इसकी सर्वसमिका मैट्रिक्स है.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$2, 1$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.1

$2, 1$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.1.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.2

$4, 1$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$4, 1$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

चरण 2.4.2.2

$R_{4}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.3

$2, 2$ की प्रविष्टि को

$1$ बनाने के लिए

$R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को

$\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.1

$2, 2$ की प्रविष्टि को

$1$ बनाने के लिए

$R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को

$\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.3.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.4

$3, 2$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1

$3, 2$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 0 & - 2 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.4.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.5

$4, 3$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.5.1

$4, 3$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 \cdot - 2 & - 3 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

चरण 2.4.5.2

$R_{4}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 9 & - 4 & - 1 & 3 & 1 \end{array}]$

चरण 2.4.6

$4, 4$ की प्रविष्टि को

$1$ बनाने के लिए

$R_{4}$ के प्रत्येक तत्व को

$- \frac{1}{9}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.6.1

$4, 4$ की प्रविष्टि को

$1$ बनाने के लिए

$R_{4}$ के प्रत्येक तत्व को

$- \frac{1}{9}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 4 & - \frac{1}{9} \cdot - 1 & - \frac{1}{9} \cdot 3 & - \frac{1}{9} \cdot 1 \end{array}]$

चरण 2.4.6.2

$R_{4}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

चरण 2.4.7

$3, 4$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.7.1

$3, 4$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{4}{9}) & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{9}) & 1 + 2 (- \frac{1}{3}) & 0 + 2 (- \frac{1}{9}) \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

चरण 2.4.7.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

चरण 2.4.8

$1, 4$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{1} = R_{1} - R_{4}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.8.1

$1, 4$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{1} = R_{1} - R_{4}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 1 - \frac{4}{9} & 0 - \frac{1}{9} & 0 + \frac{1}{3} & 0 + \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

चरण 2.4.8.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

चरण 2.4.9

$1, 3$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.9.1

$1, 3$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{5}{9} - \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} + \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

चरण 2.4.9.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

चरण 2.4.10

$1, 2$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.10.1

$1, 2$ पर प्रविष्टि को

$0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 0 - 0 & \frac{1}{3} - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

चरण 2.4.10.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

चरण 2.5

घटी हुई पंक्ति सोपानक रूप का दाहिना आधा भाग व्युत्क्रम है.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

चरण 3

बाएं मैट्रिक्स समीकरण के दोनों पक्षों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स से गुणा करें.

$([\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

चरण 4

किसी भी मैट्रिक्स को उसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर, हमेशा

$1$ के बराबर होता है.

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

चरण 5

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

दो आव्यूहों को गुणा किया जा सकता है यदि और केवल यदि पहले आव्यूह में स्तंभों की संख्या दूसरे आव्यूह में पंक्तियों की संख्या के बराबर हो. इस स्थिति में, पहला मैट्रिक्स

$4 \times 4$ है और दूसरा मैट्रिक्स

$4 \times 1$ है.

चरण 5.2

पहले मैट्रिक्स में प्रत्येक पंक्ति को दूसरे मैट्रिक्स में प्रत्येक कॉलम से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 6 \\ \frac{1}{3} \cdot 4 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 6 \\ \frac{5}{9} \cdot 4 - \frac{1}{9} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{2}{9} \cdot 6 \\ \frac{4}{9} \cdot 4 + \frac{1}{9} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{9} \cdot 6 \end{array}]$

चरण 5.3

सभी व्यंजकों को गुणा करके आव्यूह के प्रत्येक अवयव को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

चरण 6

बाएँ और दाएँ पक्ष को सरल करें.

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

चरण 7

हल/समाधान पता करें.

$t = 1$

$x = 1$

$y = 1$

$z = 1$