लीनियर एलजेब्रा उदाहरण

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

चरण 1

सारणिक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

सर्वाधिक $0$ तत्वों वाली पंक्ति या स्तंभ चुनें. यदि कोई $0$ तत्व नहीं हैं तो कोई भी पंक्ति या कॉलम चुनें. कॉलम $2$ में प्रत्येक तत्व को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें और जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

संबंधित साइन चार्ट पर विचार करें.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 1.1.2

यदि संकेतक साइन चार्ट पर $-$ की स्थिति से मेल खाते हैं तो कोफ़ैक्टर माइनर है, जिसके चिन्ह को बदल दिया गया है.

चरण 1.1.3

$a_{12}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $1$ और कॉलम $2$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

चरण 1.1.4

तत्व $a_{12}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

चरण 1.1.5

$a_{22}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $2$ और कॉलम $2$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

चरण 1.1.6

तत्व $a_{22}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

चरण 1.1.7

$a_{32}$ के लिए माइनर निर्धारक है, जिसमें पंक्ति $3$ और कॉलम $2$ को हटा दिया गया है.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

चरण 1.1.8

तत्व $a_{32}$ को उसके कोफ़ेक्टर से गुणा करें.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

चरण 1.1.9

पदों को एक साथ जोड़ें.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

चरण 1.2

$0$ को $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ से गुणा करें.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

चरण 1.3

$0$ को $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ से गुणा करें.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 1.4

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

चरण 1.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1.1

$6$ को $0$ से गुणा करें.

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

चरण 1.4.2.1.2

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

चरण 1.4.2.2

$0$ और $2$ जोड़ें.

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

चरण 1.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + 0 + 0$

चरण 1.5.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2 + 0$

चरण 1.5.3

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 2

चूँकि निर्धारक गैर-शून्य है, व्युत्क्रम अस्तित्व में है.

चरण 3

एक $3 \times 6$ मैट्रिक्स सेट करें जहां बायां आधा मूल मैट्रिक्स है और दायां आधा इसकी सर्वसमिका मैट्रिक्स है.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 4

घटी हुई पंक्ति के सोपानक रूप का पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$1, 1$ पर एक गैर-शून्य प्रविष्टि करने के लिए $R_{2}$ को $R_{1}$ से स्वैप करें.

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 4.2

$1, 1$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{1}$ के प्रत्येक तत्व को $\frac{1}{6}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$1, 1$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{1}$ के प्रत्येक तत्व को $\frac{1}{6}$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 4.2.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

चरण 4.3

$3, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$3, 1$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

चरण 4.3.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

चरण 4.4

$2, 2$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को $- 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$2, 2$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{2}$ के प्रत्येक तत्व को $- 1$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

चरण 4.4.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

चरण 4.5

$3, 3$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{3}$ के प्रत्येक तत्व को $3$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$3, 3$ की प्रविष्टि को $1$ बनाने के लिए $R_{3}$ के प्रत्येक तत्व को $3$ से गुणा करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

चरण 4.5.2

$R_{3}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

चरण 4.6

$2, 3$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$2, 3$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

चरण 4.6.2

$R_{2}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

चरण 4.7

$1, 3$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$1, 3$ पर प्रविष्टि को $0$ बनाने के लिए पंक्ति संचालन $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ करें.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

चरण 4.7.2

$R_{1}$ को सरल करें.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

चरण 5

घटी हुई पंक्ति सोपानक रूप का दाहिना आधा भाग व्युत्क्रम है.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$