फाइनाइट मैथ उदाहरण

$5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$

चरण 1

$5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5 = 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

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चरण 2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ है.

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चरण 2.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 5$

चरण 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 5$

चरण 2.1.3

$- 5$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 5$ बहुपद का मूल है.

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चरण 2.1.3.1

$- 5$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$5 {(- 5)}^{3} + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

चरण 2.1.3.2

$- 5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \cdot - 125 + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

चरण 2.1.3.3

$5$ को $- 125$ से गुणा करें.

$- 625 + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

चरण 2.1.3.4

$- 5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 625 + 27 \cdot 25 + 11 \cdot - 5 + 5$

चरण 2.1.3.5

$27$ को $25$ से गुणा करें.

$- 625 + 675 + 11 \cdot - 5 + 5$

चरण 2.1.3.6

$- 625$ और $675$ जोड़ें.

$50 + 11 \cdot - 5 + 5$

चरण 2.1.3.7

$11$ को $- 5$ से गुणा करें.

$50 - 55 + 5$

चरण 2.1.3.8

$50$ में से $55$ घटाएं.

$- 5 + 5$

चरण 2.1.3.9

$- 5$ और $5$ जोड़ें.

$0$

चरण 2.1.4

चूँकि $- 5$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 5$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5}{x + 5}$

चरण 2.1.5

$5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ को $x + 5$ से विभाजित करें.

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चरण 2.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$5$

$5 x^{3}$

$27 x^{2}$

$11 x$

$5$

चरण 2.1.5.2

भाज्य $5 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$

चरण 2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			+	$5 x^{3}$	+	$25 x^{2}$

चरण 2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $5 x^{3} + 25 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$

चरण 2.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

चरण 2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$

चरण 2.1.5.7

भाज्य $2 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$

चरण 2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$

चरण 2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{2} + 10 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

चरण 2.1.5.10

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$

चरण 2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$

चरण 2.1.5.12

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$

चरण 2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							+	$x$	+	$5$

चरण 2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x + 5$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							-	$x$	-	$5$

चरण 2.1.5.15

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							-	$x$	-	$5$
										$0$

चरण 2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$5 x^{2} + 2 x + 1$

चरण 2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ लिखें.

$(x + 5) (5 x^{2} + 2 x + 1) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 5 = 0$

$5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

चरण 2.3

$x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

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चरण 2.3.1

$x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 5 = 0$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$x = - 5$

चरण 2.4

$5 x^{2} + 2 x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$5 x^{2} + 2 x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ हल करें.

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चरण 2.4.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.4.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 5$ , $b = 2$ और $c = 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 1)}}{2 \cdot 5}$

चरण 2.4.2.3

सरल करें.

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चरण 2.4.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

चरण 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 5 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ को $5$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

चरण 2.4.2.3.1.2.2

$- 20$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 5}$

चरण 2.4.2.3.1.3

$4$ में से $20$ घटाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 5}$

चरण 2.4.2.3.1.4

$- 16$ को $- 1 (16)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 5}$

चरण 2.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$

चरण 2.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$

चरण 2.4.2.3.1.7

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 5}$

चरण 2.4.2.3.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 5}$

चरण 2.4.2.3.1.9

$4$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2 \cdot 5}$

चरण 2.4.2.3.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{10}$

चरण 2.4.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 4 i}{10}$ को सरल करें.

$x = \frac{- 1 \pm 2 i}{5}$

चरण 2.4.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5}, - \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5}$

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 5) (5 x^{2} + 2 x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 5, - \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5}, - \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5}$

चरण 3