फाइनाइट मैथ उदाहरण

$\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1) - x$

चरण 1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ परिभाषित है, तर्क को $\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1)$ से बड़ा $0$ में सेट करें.

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1 > 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} - 1 > 0$

चरण 2.1.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 > 0$

चरण 2.1.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} > 0$

चरण 2.1.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$- 1$ और $\frac{x}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{- x}{x} > 0$

चरण 2.1.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{(x + 1) (x - 1) - x}{x} > 0$

चरण 2.1.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 1) (x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

चरण 2.1.4.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

चरण 2.1.4.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

चरण 2.1.4.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

चरण 2.1.4.2.1.2

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

चरण 2.1.4.2.1.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

चरण 2.1.4.2.1.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

चरण 2.1.4.2.1.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - x + x - 1 - x}{x} > 0$

चरण 2.1.4.2.2

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} + 0 - 1 - x}{x} > 0$

चरण 2.1.4.2.3

$x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} - 1 - x}{x} > 0$

चरण 2.1.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{x^{2} - x - 1}{x} > 0$

चरण 2.2

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर रखकर और उसे हल करके ऐसे सभी मान पता करें जहाँ व्यंजक नकारात्मक से सकारात्मक में परिवर्तित होता है.

$x = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

चरण 2.3

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.4

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 1$ और $c = - 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.1.2.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.1.3

$1$ और $4$ जोड़ें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

चरण 2.6

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.6.1.2.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.6.1.3

$1$ और $4$ जोड़ें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.6.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

चरण 2.6.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

चरण 2.7

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.7.1.2.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.7.1.3

$1$ और $4$ जोड़ें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.7.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

चरण 2.7.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

चरण 2.8

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

चरण 2.9

प्रत्येक गुणनखंड के लिए उन मानों को प्राप्त करने के लिए हल करें जहां निरपेक्ष मान व्यंजक ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है.

$x = 0$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

चरण 2.10

हल समेकित करें.

$x = 0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

चरण 2.11

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.1

$\frac{x^{2} - 1}{x}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x = 0$

चरण 2.11.2

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 2.12

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

चरण 2.13

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.1

अंतराल $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.1.1

अंतराल $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 3$

चरण 2.13.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 3$ से बदलें.

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1}{- 3} - 1 > 0$

चरण 2.13.1.3

बाईं ओर $- 3.\overline{6}$ दाईं ओर $0$ से बड़ा नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 2.13.2

अंतराल $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.2.1

अंतराल $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 0.31$

चरण 2.13.2.2

मूल असमानता में $x$ को $- 0.31$ से बदलें.

$\frac{{(- 0.31)}^{2} - 1}{- 0.31} - 1 > 0$

चरण 2.13.2.3

बाईं ओर $1.91580645$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 2.13.3

अंतराल $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.3.1

अंतराल $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 1$

चरण 2.13.3.2

मूल असमानता में $x$ को $1$ से बदलें.

$\frac{{(1)}^{2} - 1}{1} - 1 > 0$

चरण 2.13.3.3

बाईं ओर $- 1$ दाईं ओर $0$ से बड़ा नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 2.13.4

अंतराल $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.4.1

अंतराल $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 4$

चरण 2.13.4.2

मूल असमानता में $x$ को $4$ से बदलें.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} - 1 > 0$

चरण 2.13.4.3

बाईं ओर $2.75$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 2.13.5

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ गलत

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ सही

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ गलत

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ सही

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ गलत

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ सही

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ गलत

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ सही

चरण 2.14

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ या $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

चरण 3

$x = 0$

चरण 4

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0, x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

चरण 5