फाइनाइट मैथ उदाहरण

$2 p - 2 \sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$

चरण 1

रेडिकैंड को $\sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 \geq 0$

चरण 2

$p$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

असमानता को समीकरण में बदलें.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$4 p^{3}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (p^{3}) + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

चरण 2.2.1.2

$16 p^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 28 p - 48 = 0$

चरण 2.2.1.3

$28 p$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) - 48 = 0$

चरण 2.2.1.4

$- 48$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 p^{3} + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

चरण 2.2.1.5

$4 p^{3} + 4 (4 p^{2})$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

चरण 2.2.1.6

$4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

चरण 2.2.1.7

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12) = 0$

चरण 2.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

चरण 2.2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

चरण 2.2.2.1.3

$1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.3.1

$1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

चरण 2.2.2.1.3.2

$1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

चरण 2.2.2.1.3.3

$1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 12$

चरण 2.2.2.1.3.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 4 + 7 \cdot 1 - 12$

चरण 2.2.2.1.3.5

$1$ और $4$ जोड़ें.

$5 + 7 \cdot 1 - 12$

चरण 2.2.2.1.3.6

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$5 + 7 - 12$

चरण 2.2.2.1.3.7

$5$ और $7$ जोड़ें.

$12 - 12$

चरण 2.2.2.1.3.8

$12$ में से $12$ घटाएं.

$0$

चरण 2.2.2.1.4

चूँकि $1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $p - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12}{p - 1}$

चरण 2.2.2.1.5

$p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ को $p - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$p$

$1$

$p^{3}$

$4 p^{2}$

$7 p$

$12$

चरण 2.2.2.1.5.2

भाज्य $p^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $p$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$p^{2}$
	$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$

चरण 2.2.2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			+	$p^{3}$	-	$p^{2}$

चरण 2.2.2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $p^{3} - p^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$

चरण 2.2.2.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$

चरण 2.2.2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

चरण 2.2.2.1.5.7

भाज्य $5 p^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $p$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

चरण 2.2.2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					+	$5 p^{2}$	-	$5 p$

चरण 2.2.2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $5 p^{2} - 5 p$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$

चरण 2.2.2.1.5.10

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$

चरण 2.2.2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

चरण 2.2.2.1.5.12

भाज्य $12 p$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $p$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

चरण 2.2.2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							+	$12 p$	-	$12$

चरण 2.2.2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $12 p - 12$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$

चरण 2.2.2.1.5.15

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$
										$0$

चरण 2.2.2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$p^{2} + 5 p + 12$

चरण 2.2.2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ लिखें.

$4 ((p - 1) (p^{2} + 5 p + 12)) = 0$

चरण 2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$p - 1 = 0$

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

चरण 2.4

$p - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $p$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$p - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$p - 1 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$p = 1$

चरण 2.5

$p^{2} + 5 p + 12$ को $0$ के बराबर सेट करें और $p$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$p^{2} + 5 p + 12$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

चरण 2.5.2

$p$ के लिए $p^{2} + 5 p + 12 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.5.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 5$ और $c = 12$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $p$ के लिए हल करें.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 12$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ को $12$ से गुणा करें.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.3

$25$ में से $48$ घटाएं.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.4

$- 23$ को $- 1 (23)$ के रूप में फिर से लिखें.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ के रूप में फिर से लिखें.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

चरण 2.5.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.4.1.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 12$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.4.1.2.2

$- 4$ को $12$ से गुणा करें.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.4.1.3

$25$ में से $48$ घटाएं.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.4.1.4

$- 23$ को $- 1 (23)$ के रूप में फिर से लिखें.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ के रूप में फिर से लिखें.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

चरण 2.5.2.4.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$p = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

चरण 2.5.2.4.4

$- 5$ को $- 1 (5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$p = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

चरण 2.5.2.4.5

$i \sqrt{23}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

चरण 2.5.2.4.6

$- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$p = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

चरण 2.5.2.4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

चरण 2.5.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.5.1.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 12$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.5.1.2.2

$- 4$ को $12$ से गुणा करें.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.5.1.3

$25$ में से $48$ घटाएं.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.5.1.4

$- 23$ को $- 1 (23)$ के रूप में फिर से लिखें.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ के रूप में फिर से लिखें.

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.5.2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

चरण 2.5.2.5.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$p = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

चरण 2.5.2.5.4

$- 5$ को $- 1 (5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

चरण 2.5.2.5.5

$- i \sqrt{23}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

चरण 2.5.2.5.6

$- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$p = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

चरण 2.5.2.5.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$p = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

चरण 2.5.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$p = 1, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

चरण 2.7

प्रमुख गुणांक की पहचान करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

एक बहुपद में प्रमुख पद उच्चतम घात वाला पद है.

$4 p^{3}$

चरण 2.7.2

एक बहुपद में प्रमुख गुणांक प्रमुख पद का गुणांक होता है.

$4$

चरण 2.8

चूंकि कोई वास्तविक x- अंत:खंड नहीं है और प्रमुख गुणांक धनात्मक है, परवलय खुलता है और $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ हमेशा $0$ से बड़ा होता है.

सभी वास्तविक संख्या

चरण 3

डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${p | p \in ℝ}$

चरण 4