फाइनाइट मैथ उदाहरण

$f (x) = (- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15)$

चरण 1

x- अंत:खंड ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $y$ को प्रतिस्थापित करें और $x$ को हल करें.

$0 = - x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$

चरण 1.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण को $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

चरण 1.2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

चरण 1.2.2.1.3

$1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.3.1

$1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

चरण 1.2.2.1.3.2

$1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

चरण 1.2.2.1.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

चरण 1.2.2.1.3.4

$1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 + 3 \cdot 1 + 13 \cdot 1 - 15$

चरण 1.2.2.1.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 + 3 + 13 \cdot 1 - 15$

चरण 1.2.2.1.3.6

$- 1$ और $3$ जोड़ें.

$2 + 13 \cdot 1 - 15$

चरण 1.2.2.1.3.7

$13$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + 13 - 15$

चरण 1.2.2.1.3.8

$2$ और $13$ जोड़ें.

$15 - 15$

चरण 1.2.2.1.3.9

$15$ में से $15$ घटाएं.

$0$

चरण 1.2.2.1.4

चूँकि $1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15}{x - 1}$

चरण 1.2.2.1.5

$- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$15$

चरण 1.2.2.1.5.2

भाज्य $- x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$

चरण 1.2.2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 1.2.2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- x^{3} + x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 1.2.2.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

चरण 1.2.2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

चरण 1.2.2.1.5.7

भाज्य $2 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

चरण 1.2.2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

चरण 1.2.2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{2} - 2 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

चरण 1.2.2.1.5.10

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$

चरण 1.2.2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

चरण 1.2.2.1.5.12

भाज्य $15 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

चरण 1.2.2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

चरण 1.2.2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $15 x - 15$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

चरण 1.2.2.1.5.15

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

चरण 1.2.2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$- x^{2} + 2 x + 15$

चरण 1.2.2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ लिखें.

$(x - 1) (- x^{2} + 2 x + 15) = 0$

चरण 1.2.2.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ है और जिसका योग $b = 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.1.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$(x - 1) (- x^{2} + 2 (x) + 15) = 0$

चरण 1.2.2.2.1.1.2

$2$ को $- 3$ जोड़ $5$ के रूप में फिर से लिखें

$(x - 1) (- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15) = 0$

चरण 1.2.2.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x - 1) (- x^{2} - 3 x + 5 x + 15) = 0$

चरण 1.2.2.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x - 1) ((- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15) = 0$

चरण 1.2.2.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x - 1) (x (- x - 3) - 5 (- x - 3)) = 0$

चरण 1.2.2.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $- x - 3$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x - 1) ((- x - 3) (x - 5)) = 0$

चरण 1.2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

चरण 1.2.4

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 1.2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 1.2.5

$- x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$- x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- x - 3 = 0$

चरण 1.2.5.2

$x$ के लिए $- x - 3 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$- x = 3$

चरण 1.2.5.2.2

$- x = 3$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.1

$- x = 3$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

चरण 1.2.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

चरण 1.2.5.2.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{3}{- 1}$

चरण 1.2.5.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.3.1

$3$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x = - 3$

चरण 1.2.6

$x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 5 = 0$

चरण 1.2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$x = 5$

चरण 1.2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1, - 3, 5$

चरण 1.3

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

चरण 2

y- अंत:खंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

y- अंत:खंड (ओं) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $x$ को प्रतिस्थापित करें और $y$ को हल करें.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

चरण 2.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

चरण 2.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = - 0^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

चरण 2.2.3

कोष्ठक हटा दें.

$y = - 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} + 13 (0) - 15$

चरण 2.2.4

कोष्ठक हटा दें.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

चरण 2.2.5

$- {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = - 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

चरण 2.2.5.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

चरण 2.2.5.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 + 3 \cdot 0 + 13 (0) - 15$

चरण 2.2.5.1.4

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 13 (0) - 15$

चरण 2.2.5.1.5

$13$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 0 - 15$

चरण 2.2.5.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 0 - 15$

चरण 2.2.5.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 - 15$

चरण 2.2.5.2.3

$0$ में से $15$ घटाएं.

$y = - 15$

चरण 2.3

y- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, - 15)$

चरण 3

प्रतिच्छेदनों को सूचीबद्ध करें.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, - 15)$

चरण 4