फाइनाइट मैथ उदाहरण

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$f (x) = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

चरण 1.3

$2$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $2$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$f (x) = 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

चरण 1.3.2

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x) = 16 - 3 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

चरण 1.3.3

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x) = 16 - 3 \cdot 8 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

चरण 1.3.4

$- 3$ को $8$ से गुणा करें.

$f (x) = 16 - 24 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

चरण 1.3.5

$16$ में से $24$ घटाएं.

$f (x) = - 8 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

चरण 1.3.6

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x) = - 8 - 6 \cdot 4 + 28 \cdot 2 - 24$

चरण 1.3.7

$- 6$ को $4$ से गुणा करें.

$f (x) = - 8 - 24 + 28 \cdot 2 - 24$

चरण 1.3.8

$- 8$ में से $24$ घटाएं.

$f (x) = - 32 + 28 \cdot 2 - 24$

चरण 1.3.9

$28$ को $2$ से गुणा करें.

$f (x) = - 32 + 56 - 24$

चरण 1.3.10

$- 32$ और $56$ जोड़ें.

$f (x) = 24 - 24$

चरण 1.3.11

$24$ में से $24$ घटाएं.

$f (x) = 0$

चरण 1.4

चूँकि $2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$f (x) = \frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24}{x - 2}$

चरण 1.5

$x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ को $x - 2$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$f (x) =$

चरण 1.5.2

भाज्य $x^{4}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$f (x) =$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$f (x) =$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{4} - 2 x^{3}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$f (x) =$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$f (x) =$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$f (x) =$

चरण 1.5.7

भाज्य $- x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$f (x) =$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$f (x) =$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- x^{3} + 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$f (x) =$

चरण 1.5.10

$f (x) =$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$f (x) =$

चरण 1.5.12

भाज्य $- 8 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$f (x) =$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$f (x) =$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 8 x^{2} + 16 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$f (x) =$

चरण 1.5.15

$f (x) =$

चरण 1.5.16

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$f (x) =$

चरण 1.5.17

भाज्य $12 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$f (x) =$

चरण 1.5.18

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$f (x) =$

चरण 1.5.19

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $12 x - 24$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$f (x) =$

चरण 1.5.20

$f (x) =$

चरण 1.5.21

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ लिखें.

$f (x) = (x - 2) (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12)$

चरण 2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$f (x) = p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

चरण 2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$f (x) = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

चरण 2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$f (x) = 2^{3} - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12$

चरण 2.3.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x) = 8 - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12$

चरण 2.3.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x) = 8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 12$

चरण 2.3.4

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$f (x) = 8 - 4 - 8 \cdot 2 + 12$

चरण 2.3.5

$8$ में से $4$ घटाएं.

$f (x) = 4 - 8 \cdot 2 + 12$

चरण 2.3.6

$- 8$ को $2$ से गुणा करें.

$f (x) = 4 - 16 + 12$

चरण 2.3.7

$4$ में से $16$ घटाएं.

$f (x) = - 12 + 12$

चरण 2.3.8

$- 12$ और $12$ जोड़ें.

$f (x) = 0$

चरण 2.4

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}{x - 2}$

चरण 2.5

$x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ को $x - 2$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$f (x) =$

चरण 2.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$f (x) =$

चरण 2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$f (x) =$

चरण 2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$f (x) =$

चरण 2.5.5

$f (x) =$

चरण 2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$f (x) =$

चरण 2.5.7

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$f (x) =$

चरण 2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$f (x) =$

चरण 2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} - 2 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$f (x) =$

चरण 2.5.10

$f (x) =$

चरण 2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$f (x) =$

चरण 2.5.12

भाज्य $- 6 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$f (x) =$

चरण 2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$f (x) =$

चरण 2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 6 x + 12$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$f (x) =$

चरण 2.5.15

$f (x) =$

चरण 2.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$f (x) = x^{2} + x - 6$

चरण 2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ लिखें.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x^{2} + x - 6))$

चरण 3

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x^{2} + i x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $i$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 6$ है और जिसका योग $1$ है.

$f (x) = - 2, 3$

चरण 3.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) ((x - 2) (x + 3)))$

चरण 3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

चरण 4

समान गुणनखंडों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समान गुणनखंडों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x - 2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

चरण 4.1.2

$x - 2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

चरण 4.1.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x) = (x - 2) ({(x - 2)}^{1 + 1} (x + 3))$

चरण 4.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (x) = (x - 2) ({(x - 2)}^{2} (x + 3))$

चरण 4.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$f (x) = (x - 2) {(x - 2)}^{2} (x + 3)$

चरण 5

समान गुणनखंडों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x) = {(x - 2)}^{1 + 2} (x + 3)$

चरण 5.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f (x) = {(x - 2)}^{3} (x + 3)$