फाइनाइट मैथ उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - 7, x = 2$

चरण 2

चूँकि $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $\infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $- 7$ और $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $- \infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $- 7$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = - 7$

चरण 3

चूँकि $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $- \infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $2$ और $\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $2$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = 2$

चरण 4

सभी ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी की सूची बनाएंं:

$x = - 7, 2$

चरण 5

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 6

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 4$

$m = 2$

चरण 7

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 8

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 5 x - 14$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 14$ है और जिसका योग $5$ है.

$- 2, 7$

चरण 8.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$\frac{x^{4} + 1}{(x - 2) (x + 7)}$

चरण 8.2

$(x - 2) (x + 7)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{4} + 1}{x (x + 7) - 2 (x + 7)}$

चरण 8.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + x \cdot 7 - 2 (x + 7)}$

चरण 8.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + x \cdot 7 - 2 x - 2 \cdot 7}$

चरण 8.2.4

$x$ और $7$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

चरण 8.2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

चरण 8.2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{4} + 1}{x \cdot x + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

चरण 8.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{4} + 1}{x^{1 + 1} + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

चरण 8.2.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 7 x - 2 x - 2 \cdot 7}$

चरण 8.2.9

$- 2$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 7 x - 2 x - 14}$

चरण 8.2.10

$7 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 5 x - 14}$

चरण 8.3

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

चरण 8.4

भाज्य $x^{4}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

चरण 8.5

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

चरण 8.6

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{4} + 5 x^{3} - 14 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

चरण 8.7

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

चरण 8.8

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

चरण 8.9

भाज्य $- 5 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

चरण 8.10

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

चरण 8.11

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 5 x^{3} - 25 x^{2} + 70 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

चरण 8.12

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

चरण 8.13

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

चरण 8.14

भाज्य $39 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

चरण 8.15

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

चरण 8.16

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $39 x^{2} + 195 x - 546$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

चरण 8.17

$x^{2}$

$5 x$

$39$

$x^{2}$

$5 x$

$14$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$5 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$70 x$

$39 x^{2}$

$70 x$

$1$

$39 x^{2}$

$195 x$

$546$

$265 x$

$547$

चरण 8.18

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$x^{2} - 5 x + 39 + \frac{- 265 x + 547}{x^{2} + 5 x - 14}$

चरण 8.19

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = x^{2} - 5 x + 39$

चरण 9

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - 7, 2$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = x^{2} - 5 x + 39$

चरण 10