फाइनाइट मैथ उदाहरण

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

चरण 1

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = \frac{8 y}{y^{2} - 64}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $y^{2} - 64$ से गुणा करें.

$(y^{2} - 64) (x) = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

चरण 3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} x - 64 x = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

चरण 3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$(\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1.1

$64$ को $8^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{y^{2} - 8^{2}} (y^{2} - 64)$

चरण 3.3.1.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = y$ और $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)} (y^{2} - 64)$

चरण 3.3.1.2

$\frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)}$ को $y^{2} - 64$ से गुणा करें.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 64)}{(y + 8) (y - 8)}$

चरण 3.3.1.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.3.1

$64$ को $8^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 8^{2})}{(y + 8) (y - 8)}$

चरण 3.3.1.3.2

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

चरण 3.3.1.4

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.4.1

$y + 8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.4.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

चरण 3.3.1.4.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

चरण 3.3.1.4.2

$y - 8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

चरण 3.3.1.4.2.2

$8 y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} x - 64 x = 8 y$

चरण 3.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $8 y$ घटाएं.

$y^{2} x - 64 x - 8 y = 0$

चरण 3.4.2

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 3.4.3

द्विघात सूत्र में $a = x$ , $b = - 8$ और $c = - 64 x$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 64 x))}}{2 x}$

चरण 3.4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1.1

$- 8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

चरण 3.4.4.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

चरण 3.4.4.1.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1.3.1

$x$ ले जाएं.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

चरण 3.4.4.1.3.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.4.1.4

$- 4$ को $- 64$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

चरण 3.4.4.1.5

$64 + 256 x^{2}$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1.5.1

$64$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

चरण 3.4.4.1.5.2

$256 x^{2}$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.4.1.5.3

$64 (1) + 64 (4 x^{2})$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.4.1.6

$64 (1 + 4 x^{2})$ को $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1.6.1

$64$ को $8^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.4.1.6.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.4.1.7

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

चरण 3.4.4.1.8

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

चरण 3.4.4.2

$\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ को सरल करें.

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

चरण 3.4.5

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1.1

$- 8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

चरण 3.4.5.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

चरण 3.4.5.1.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1.3.1

$x$ ले जाएं.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

चरण 3.4.5.1.3.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.5.1.4

$- 4$ को $- 64$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

चरण 3.4.5.1.5

$64 + 256 x^{2}$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1.5.1

$64$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

चरण 3.4.5.1.5.2

$256 x^{2}$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.5.1.5.3

$64 (1) + 64 (4 x^{2})$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.5.1.6

$64 (1 + 4 x^{2})$ को $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1.6.1

$64$ को $8^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.5.1.6.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.5.1.7

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

चरण 3.4.5.1.8

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

चरण 3.4.5.2

$\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ को सरल करें.

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

चरण 3.4.5.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$y = \frac{4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

चरण 3.4.5.4

$4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.4.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

चरण 3.4.5.4.2

$4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

चरण 3.4.6

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.1.1

$- 8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

चरण 3.4.6.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

चरण 3.4.6.1.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.1.3.1

$x$ ले जाएं.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

चरण 3.4.6.1.3.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.6.1.4

$- 4$ को $- 64$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

चरण 3.4.6.1.5

$64 + 256 x^{2}$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.1.5.1

$64$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

चरण 3.4.6.1.5.2

$256 x^{2}$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.6.1.5.3

$64 (1) + 64 (4 x^{2})$ में से $64$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.6.1.6

$64 (1 + 4 x^{2})$ को $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.1.6.1

$64$ को $8^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.6.1.6.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

चरण 3.4.6.1.7

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

चरण 3.4.6.1.8

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

चरण 3.4.6.2

$\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ को सरल करें.

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

चरण 3.4.6.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$y = \frac{4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

चरण 3.4.6.4

$4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.4.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 (1) - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

चरण 3.4.6.4.2

$- 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

चरण 3.4.6.4.3

$4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

चरण 3.4.7

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ , $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम का डोमेन मूल फंक्शन का परास और इसके विपरीत है. $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ और $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ का डोमेन और परास ज्ञात करें और उनकी तुलना करें.

चरण 5.2

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ की सीमा ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

श्रेणी सभी मान्य $y$ मानों का सेट है. परिसर पता करने के लिए ग्राफ का प्रयोग करें.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

चरण 5.3

$\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

रेडिकैंड को $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$1 + 4 x^{2} \geq 0$

चरण 5.3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

असमानता के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$4 x^{2} \geq - 1$

चरण 5.3.2.2

$4 x^{2} \geq - 1$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

$4 x^{2} \geq - 1$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

चरण 5.3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

चरण 5.3.2.2.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} \geq \frac{- 1}{4}$

चरण 5.3.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x^{2} \geq - \frac{1}{4}$

चरण 5.3.2.3

चूंकि बाईं ओर सम घात है, यह सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सदैव धनात्मक होता है.

सभी वास्तविक संख्या

चरण 5.3.3

$\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x = 0$

चरण 5.3.4

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ का डोमेन $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ की परास के बराबर नहीं है, तो $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ , $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ का व्युत्क्रम नहीं है.

कोई व्युत्क्रम नहीं

चरण 6