फाइनाइट मैथ उदाहरण

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} < y + 2$

चरण 1

असमानता के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$

चरण 2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$4 y, 3, 1, 1$

चरण 2.2

Since $4 y, 3, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

चरण 2.3

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.

1. प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाइए.

2. प्रत्येक गुणनखंड को किसी भी संख्या में जितनी बार आता है उतनी बार गुणा करें.

चरण 2.4

$4$ के गुणनखंड $2$ और $2$ हैं.

$2 \cdot 2$

चरण 2.5

चूंकि $3$ का $1$ और $3$ के अलावा कोई गुणनखंड नहीं है.

$3$ एक अभाज्य संख्या है

चरण 2.6

संख्या $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसका केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, जो स्वयं है.

अभाज्य संख्या नहीं

चरण 2.7

$4, 3, 1, 1$ का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सभी अभाज्य गुणन खंड में से किसी एक संख्या में आने वाली सबसे बड़ी संख्या को गुणा करने का परिणाम है.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

चरण 2.8

$2 \cdot 2 \cdot 3$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 \cdot 3$

चरण 2.8.2

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$12$

चरण 2.9

$y^{1}$ का गुणनखंड $y$ ही है.

$y^{1} = y$

$y$ $1$ बार आता है.

चरण 2.10

$y^{1}$ का LCM (न्यूनतम सामान्य गुणक) सभी अभाज्य गुणन खंडों को किसी भी पद में जितनी बार वे आते हैं, गुणा करने का परिणाम है.

$y$

चरण 2.11

$4 y, 3, 1, 1$ के लिए LCM (लघुत्तम समापवर्तक) संख्यात्मक भाग $12$ को चर भाग से गुणा किया जाता है.

$12 y$

चरण 3

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ के प्रत्येक पद को $12 y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ के प्रत्येक पद को $12 y$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4 y} (12 y) - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$12 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.2.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (3) \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.2.2

$4 y$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (3) \frac{1}{4 (y)} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 \frac{1}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.3

$3$ और $\frac{1}{y}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.5.1

$- \frac{1}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$3 + \frac{- 1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.5.2

$12 y$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 - (4 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.6

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 - 4 y - y (12 y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.7

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y \cdot y < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.8

घातांक जोड़कर $y$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.8.1

$y$ ले जाएं.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 (y \cdot y) < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.8.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y^{2} < 2 (12 y)$

चरण 3.2.1.9

$- 1$ को $12$ से गुणा करें.

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 2 (12 y)$

चरण 3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$12$ को $2$ से गुणा करें.

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 24 y$

चरण 4

असमानता को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

असमानता के बाईं ओर $y$ वाले सभी पदों को स्थानांतरित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

असमानता के दोनों पक्षों से $24 y$ घटाएं.

$3 - 4 y - 12 y^{2} - 24 y < 0$

चरण 4.1.2

$- 4 y$ में से $24 y$ घटाएं.

$3 - 12 y^{2} - 28 y < 0$

चरण 4.2

असमानता को समीकरण में बदलें.

$3 - 12 y^{2} - 28 y = 0$

चरण 4.3

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 4.4

द्विघात सूत्र में $a = - 12$ , $b = - 28$ और $c = 3$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot 3)}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1.1

$- 28$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.5.1.2

$- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1.2.1

$- 4$ को $- 12$ से गुणा करें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.5.1.2.2

$48$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.5.1.3

$784$ और $144$ जोड़ें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.5.1.4

$928$ को $4^{2} \cdot 58$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1.4.1

$928$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.5.1.4.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.5.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.5.2

$2$ को $- 12$ से गुणा करें.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

चरण 4.5.3

$\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ को सरल करें.

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

चरण 4.5.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

चरण 4.6

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1.1

$- 28$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.6.1.2

$- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1.2.1

$- 4$ को $- 12$ से गुणा करें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.6.1.2.2

$48$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.6.1.3

$784$ और $144$ जोड़ें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.6.1.4

$928$ को $4^{2} \cdot 58$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1.4.1

$928$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.6.1.4.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.6.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.6.2

$2$ को $- 12$ से गुणा करें.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

चरण 4.6.3

$\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ को सरल करें.

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

चरण 4.6.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

चरण 4.6.5

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

चरण 4.7

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1.1

$- 28$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.7.1.2

$- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1.2.1

$- 4$ को $- 12$ से गुणा करें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.7.1.2.2

$48$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.7.1.3

$784$ और $144$ जोड़ें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.7.1.4

$928$ को $4^{2} \cdot 58$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1.4.1

$928$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.7.1.4.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.7.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

चरण 4.7.2

$2$ को $- 12$ से गुणा करें.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

चरण 4.7.3

$\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ को सरल करें.

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

चरण 4.7.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

चरण 4.7.5

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$y = - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

चरण 4.8

हल समेकित करें.

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

चरण 5

$\frac{1}{4 y} - y - \frac{7}{3}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{4 y}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$4 y = 0$

चरण 5.2

$4 y = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$4 y = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 5.2.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{0}{4}$

चरण 5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$y = 0$

चरण 5.3

डोमेन $y$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 6

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

चरण 7

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

अंतराल $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

अंतराल $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$y = - 5$

चरण 7.1.2

मूल असमानता में $y$ को $- 5$ से बदलें.

$\frac{1}{4 (- 5)} - \frac{1}{3} < (- 5) + 2$

चरण 7.1.3

बाईं ओर $- 0.38\overline{3}$ दाईं ओर $- 3$ से कम नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 7.2

अंतराल $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

अंतराल $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$y = - 1$

चरण 7.2.2

मूल असमानता में $y$ को $- 1$ से बदलें.

$\frac{1}{4 (- 1)} - \frac{1}{3} < (- 1) + 2$

चरण 7.2.3

बाईं ओर $- 0.58\overline{3}$ दाईं ओर $1$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 7.3

अंतराल $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

अंतराल $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$y = 0.05$

चरण 7.3.2

मूल असमानता में $y$ को $0.05$ से बदलें.

$\frac{1}{4 (0.05)} - \frac{1}{3} < (0.05) + 2$

चरण 7.3.3

बाईं ओर $4.\overline{6}$ दाईं ओर $2.05$ से कम नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 7.4

अंतराल $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

अंतराल $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$y = 3$

चरण 7.4.2

मूल असमानता में $y$ को $3$ से बदलें.

$\frac{1}{4 (3)} - \frac{1}{3} < (3) + 2$

चरण 7.4.3

बाईं ओर $- 0.25$ दाईं ओर $5$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 7.5

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ गलत

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ सही

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ गलत

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ सही

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ गलत

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ सही

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ गलत

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ सही

चरण 8

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ या $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

चरण 9

असमानता को अंतराल संकेतन में बदलें.

$(- \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, 0) \cup (- \frac{7 - \sqrt{58}}{6}, \infty)$

चरण 10