फाइनाइट मैथ उदाहरण

$\frac{x + 1}{2 - x} < \frac{x}{33 + x}$

चरण 1

असमानता के दोनों पक्षों से $\frac{x}{33 + x}$ घटाएं.

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

चरण 2

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{x + 1}{2 - x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{33 + x}{33 + x}$ से गुणा करें.

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

चरण 2.2

$- \frac{x}{33 + x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2 - x}{2 - x}$ से गुणा करें.

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

चरण 2.3

प्रत्येक व्यंजक को $(2 - x) (33 + x)$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{x + 1}{2 - x}$ को $\frac{33 + x}{33 + x}$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

चरण 2.3.2

$\frac{x}{33 + x}$ को $\frac{2 - x}{2 - x}$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(33 + x) (2 - x)} < 0$

चरण 2.3.3

$(33 + x) (2 - x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{(x + 1) (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 1) (33 + x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (33 + x) + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1.1

$33$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{33 \cdot x + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.2.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{33 x + x^{2} + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.2.1.3

$33$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.2.1.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.2.2

$33 x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x \cdot 2 - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.6.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.6.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.6.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.7

$34 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{32 x + x^{2} + 33 + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.8

$x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{32 x + 2 x^{2} + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 2.5.9

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

चरण 3

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर रखकर और उसे हल करके ऐसे सभी मान पता करें जहाँ व्यंजक नकारात्मक से सकारात्मक में परिवर्तित होता है.

$2 x^{2} + 32 x + 33 = 0$

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

चरण 4

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 5

द्विघात सूत्र में $a = 2$ , $b = 32$ और $c = 33$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 33)}}{2 \cdot 2}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$32$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 2 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

चरण 6.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 33$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 8 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

चरण 6.1.2.2

$- 8$ को $33$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 264}}{2 \cdot 2}$

चरण 6.1.3

$1024$ में से $264$ घटाएं.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{760}}{2 \cdot 2}$

चरण 6.1.4

$760$ को $2^{2} \cdot 190$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.4.1

$760$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (190)}}{2 \cdot 2}$

चरण 6.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 190}}{2 \cdot 2}$

चरण 6.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{2 \cdot 2}$

चरण 6.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$

चरण 6.3

$\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$ को सरल करें.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{190}}{2}$

चरण 7

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

चरण 8

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- x = - 2$

चरण 9

$- x = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$- x = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 9.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 9.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 9.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$- 2$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x = 2$

चरण 10

समीकरण के दोनों पक्षों से $33$ घटाएं.

$x = - 33$

चरण 11

प्रत्येक गुणनखंड के लिए उन मानों को प्राप्त करने के लिए हल करें जहां निरपेक्ष मान व्यंजक ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$x = 2$

$x = - 33$

चरण 12

हल समेकित करें.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, 2, - 33$

चरण 13

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$(2 - x) (33 + x) = 0$

चरण 13.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

चरण 13.2.2

$2 - x$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.1

$2 - x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 - x = 0$

चरण 13.2.2.2

$x$ के लिए $2 - x = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- x = - 2$

चरण 13.2.2.2.2

$- x = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.2.2.1

$- x = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 13.2.2.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 13.2.2.2.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 13.2.2.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.2.2.3.1

$- 2$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x = 2$

चरण 13.2.3

$33 + x$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.3.1

$33 + x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$33 + x = 0$

चरण 13.2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $33$ घटाएं.

$x = - 33$

चरण 13.2.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 - x) (33 + x) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2, - 33$

चरण 13.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, - 33) \cup (- 33, 2) \cup (2, \infty)$

चरण 14

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 33$

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$

$x > 2$

चरण 15

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

अंतराल $x < - 33$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

अंतराल $x < - 33$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 36$

चरण 15.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 36$ से बदलें.

$\frac{(- 36) + 1}{2 - (- 36)} < \frac{- 36}{33 - 36}$

चरण 15.1.3

बाईं ओर $- 0.92105263$ दाईं ओर $12$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 15.2

अंतराल $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

अंतराल $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 17$

चरण 15.2.2

मूल असमानता में $x$ को $- 17$ से बदलें.

$\frac{(- 17) + 1}{2 - (- 17)} < \frac{- 17}{33 - 17}$

चरण 15.2.3

बाईं ओर $- 0.84210526$ दाईं ओर $- 1.0625$ से कम नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 15.3

अंतराल $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.1

अंतराल $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 4$

चरण 15.3.2

मूल असमानता में $x$ को $- 4$ से बदलें.

$\frac{(- 4) + 1}{2 - (- 4)} < \frac{- 4}{33 - 4}$

चरण 15.3.3

बाईं ओर $- 0.5$ दाईं ओर $- 0.13793103$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 15.4

अंतराल $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.1

अंतराल $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

चरण 15.4.2

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

$\frac{(0) + 1}{2 - (0)} < \frac{0}{33 + 0}$

चरण 15.4.3

बाईं ओर $0.5$ दाईं ओर $0$ से कम नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 15.5

अंतराल $x > 2$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.5.1

अंतराल $x > 2$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 4$

चरण 15.5.2

मूल असमानता में $x$ को $4$ से बदलें.

$\frac{(4) + 1}{2 - (4)} < \frac{4}{33 + 4}$

चरण 15.5.3

बाईं ओर $- 2.5$ दाईं ओर $0.\overline{108}$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 15.6

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 33$ सही

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ गलत

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ सही

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ गलत

$x > 2$ सही

$x < - 33$ सही

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ गलत

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ सही

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ गलत

$x > 2$ सही

चरण 16

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x < - 33$ या $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ या $x > 2$

चरण 17

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

असमानता रूप:

$x < - 33 or - \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2} or x > 2$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 33) \cup (- \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}) \cup (2, \infty)$

चरण 18