फाइनाइट मैथ उदाहरण

$x - 2 y = 0$ , $x + y + z = 310$ , $45000 x + 40000 y + 80000 z = 16000000$

चरण 1

मैट्रिक्स प्रारूप में समीकरणों की प्रणाली का प्रतिनिधित्व करें.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 45000 & 40000 & 80000 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 310 \\ 16000000 \end{array}]$

चरण 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 45000 & 40000 & 80000 \end{array}]$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 45000 & 40000 & 80000 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 45000 & 40000 & 80000 \end{array} |$

चरण 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

चरण 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 40000 & 80000 \end{array} |$

चरण 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 40000 & 80000 \end{array} |$

चरण 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 80000 \end{array} |$

चरण 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 80000 \end{array} |$

चरण 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 40000 \end{array} |$

चरण 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 40000 \end{array} |$

चरण 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 40000 & 80000 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 80000 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 40000 \end{array} |$

चरण 2.3

$0$ को $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 40000 \end{array} |$ से गुणा करें.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 40000 & 80000 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 80000 \end{array} | + 0$

चरण 2.4

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 40000 & 80000 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$2 \times 2$ मैट्रिक्स का निर्धारक सूत्र $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है.

$1 (1 \cdot 80000 - 40000 \cdot 1) + 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 80000 \end{array} | + 0$

चरण 2.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1.1

$80000$ को $1$ से गुणा करें.

$1 (80000 - 40000 \cdot 1) + 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 80000 \end{array} | + 0$

चरण 2.4.2.1.2

$- 40000$ को $1$ से गुणा करें.

$1 (80000 - 40000) + 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 80000 \end{array} | + 0$

चरण 2.4.2.2

$80000$ में से $40000$ घटाएं.

$1 \cdot 40000 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 80000 \end{array} | + 0$

चरण 2.5

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 80000 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$1 \cdot 40000 + 2 (1 \cdot 80000 - 45000 \cdot 1) + 0$

चरण 2.5.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1.1

$80000$ को $1$ से गुणा करें.

$1 \cdot 40000 + 2 (80000 - 45000 \cdot 1) + 0$

चरण 2.5.2.1.2

$- 45000$ को $1$ से गुणा करें.

$1 \cdot 40000 + 2 (80000 - 45000) + 0$

चरण 2.5.2.2

$80000$ में से $45000$ घटाएं.

$1 \cdot 40000 + 2 \cdot 35000 + 0$

चरण 2.6

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1.1

$40000$ को $1$ से गुणा करें.

$40000 + 2 \cdot 35000 + 0$

चरण 2.6.1.2

$2$ को $35000$ से गुणा करें.

$40000 + 70000 + 0$

चरण 2.6.2

$40000$ और $70000$ जोड़ें.

$110000 + 0$

चरण 2.6.3

$110000$ और $0$ जोड़ें.

$110000$

$D = 110000$

चरण 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

चरण 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 0 \\ 310 \\ 16000000 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 & 0 \\ 310 & 1 & 1 \\ 16000000 & 40000 & 80000 \end{array} |$

चरण 4.2

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

चरण 4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 40000 & 80000 \end{array} |$

चरण 4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 40000 & 80000 \end{array} |$

चरण 4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} |$

चरण 4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} |$

चरण 4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 40000 \end{array} |$

चरण 4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 40000 \end{array} |$

चरण 4.2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 40000 & 80000 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 40000 \end{array} |$

चरण 4.2.2

$0$ को $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 40000 & 80000 \end{array} |$ से गुणा करें.

$0 + 2 | \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 40000 \end{array} |$

चरण 4.2.3

$0$ को $| \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 40000 \end{array} |$ से गुणा करें.

$0 + 2 | \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} | + 0$

चरण 4.2.4

$| \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

$0 + 2 (310 \cdot 80000 - 16000000 \cdot 1) + 0$

चरण 4.2.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.2.1.1

$310$ को $80000$ से गुणा करें.

$0 + 2 (24800000 - 16000000 \cdot 1) + 0$

चरण 4.2.4.2.1.2

$- 16000000$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 2 (24800000 - 16000000) + 0$

चरण 4.2.4.2.2

$24800000$ में से $16000000$ घटाएं.

$0 + 2 \cdot 8800000 + 0$

चरण 4.2.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

$2$ को $8800000$ से गुणा करें.

$0 + 17600000 + 0$

चरण 4.2.5.2

$0$ और $17600000$ जोड़ें.

$17600000 + 0$

चरण 4.2.5.3

$17600000$ और $0$ जोड़ें.

$17600000$

$D_{x} = 17600000$

चरण 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

चरण 4.4

Substitute $110000$ for $D$ and $17600000$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{17600000}{110000}$

चरण 4.5

$17600000$ को $110000$ से विभाजित करें.

$x = 160$

चरण 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 0 \\ 310 \\ 16000000 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 310 & 1 \\ 45000 & 16000000 & 80000 \end{array} |$

चरण 5.2

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

चरण 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} |$

चरण 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} |$

चरण 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 80000 \end{array} |$

चरण 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 80000 \end{array} |$

चरण 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 45000 & 16000000 \end{array} |$

चरण 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 45000 & 16000000 \end{array} |$

चरण 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 80000 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 45000 & 16000000 \end{array} |$

चरण 5.2.2

$0$ को $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 80000 \end{array} |$ से गुणा करें.

$1 | \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 45000 & 16000000 \end{array} |$

चरण 5.2.3

$0$ को $| \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 45000 & 16000000 \end{array} |$ से गुणा करें.

$1 | \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} | + 0 + 0$

चरण 5.2.4

$| \begin{array}{c} 310 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$1 (310 \cdot 80000 - 16000000 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 5.2.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.1.1

$310$ को $80000$ से गुणा करें.

$1 (24800000 - 16000000 \cdot 1) + 0 + 0$

चरण 5.2.4.2.1.2

$- 16000000$ को $1$ से गुणा करें.

$1 (24800000 - 16000000) + 0 + 0$

चरण 5.2.4.2.2

$24800000$ में से $16000000$ घटाएं.

$1 \cdot 8800000 + 0 + 0$

चरण 5.2.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

$8800000$ को $1$ से गुणा करें.

$8800000 + 0 + 0$

चरण 5.2.5.2

$8800000$ और $0$ जोड़ें.

$8800000 + 0$

चरण 5.2.5.3

$8800000$ और $0$ जोड़ें.

$8800000$

$D_{y} = 8800000$

चरण 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

चरण 5.4

Substitute $110000$ for $D$ and $8800000$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{8800000}{110000}$

चरण 5.5

$8800000$ को $110000$ से विभाजित करें.

$y = 80$

चरण 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 0 \\ 310 \\ 16000000 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 310 \\ 45000 & 40000 & 16000000 \end{array} |$

चरण 6.2

Find the determinant.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

चरण 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

चरण 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 40000 & 16000000 \end{array} |$

चरण 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 40000 & 16000000 \end{array} |$

चरण 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 45000 & 16000000 \end{array} |$

चरण 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 45000 & 16000000 \end{array} |$

चरण 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 40000 \end{array} |$

चरण 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 40000 \end{array} |$

चरण 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 40000 & 16000000 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 45000 & 16000000 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 40000 \end{array} |$

चरण 6.2.2

$0$ को $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 45000 & 40000 \end{array} |$ से गुणा करें.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 40000 & 16000000 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 45000 & 16000000 \end{array} | + 0$

चरण 6.2.3

$| \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 40000 & 16000000 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$1 (1 \cdot 16000000 - 40000 \cdot 310) + 2 | \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 45000 & 16000000 \end{array} | + 0$

चरण 6.2.3.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.2.1.1

$16000000$ को $1$ से गुणा करें.

$1 (16000000 - 40000 \cdot 310) + 2 | \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 45000 & 16000000 \end{array} | + 0$

चरण 6.2.3.2.1.2

$- 40000$ को $310$ से गुणा करें.

$1 (16000000 - 12400000) + 2 | \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 45000 & 16000000 \end{array} | + 0$

चरण 6.2.3.2.2

$16000000$ में से $12400000$ घटाएं.

$1 \cdot 3600000 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 45000 & 16000000 \end{array} | + 0$

चरण 6.2.4

$| \begin{array}{c} 1 & 310 \\ 45000 & 16000000 \end{array} |$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1

$1 \cdot 3600000 + 2 (1 \cdot 16000000 - 45000 \cdot 310) + 0$

चरण 6.2.4.2

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.2.1.1

$16000000$ को $1$ से गुणा करें.

$1 \cdot 3600000 + 2 (16000000 - 45000 \cdot 310) + 0$

चरण 6.2.4.2.1.2

$- 45000$ को $310$ से गुणा करें.

$1 \cdot 3600000 + 2 (16000000 - 13950000) + 0$

चरण 6.2.4.2.2

$16000000$ में से $13950000$ घटाएं.

$1 \cdot 3600000 + 2 \cdot 2050000 + 0$

चरण 6.2.5

सारणिक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1.1

$3600000$ को $1$ से गुणा करें.

$3600000 + 2 \cdot 2050000 + 0$

चरण 6.2.5.1.2

$2$ को $2050000$ से गुणा करें.

$3600000 + 4100000 + 0$

चरण 6.2.5.2

$3600000$ और $4100000$ जोड़ें.

$7700000 + 0$

चरण 6.2.5.3

$7700000$ और $0$ जोड़ें.

$7700000$

$D_{z} = 7700000$

चरण 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

चरण 6.4

Substitute $110000$ for $D$ and $7700000$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{7700000}{110000}$

चरण 6.5

$7700000$ को $110000$ से विभाजित करें.

$z = 70$

चरण 7

समीकरणों की प्रणाली के हल की सूची बनाएंं.

$x = 160$

$y = 80$

$z = 70$