कैलकुलस उदाहरण

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$

चरण 1

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ को

\frac{1 - cos (2 x)}{2}

$\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

\int \frac{1 - cos (2 x)}{2} d x

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

चरण 2

चूँकि

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ बटे

x

$x$ अचर है,

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

\frac{1}{2} \int 1 - cos (2 x) d x

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

\frac{1}{2} (\int d x + \int - cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

चरण 4

स्थिरांक नियम लागू करें.

\frac{1}{2} (x + C + \int - cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

चरण 5

चूँकि

- 1

$- 1$ बटे

x

$x$ अचर है,

- 1

$- 1$ को समाकलन से हटा दें.

\frac{1}{2} (x + C - \int cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

चरण 6

मान लीजिए

u = 2 x

$u = 2 x$ .फिर

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ , तो

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ .

u

$u$ और

d

$d$

u

$u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें

u = 2 x

$u = 2 x$ .

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

2 x

$2 x$ को अवकलित करें.

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 6.1.2

चूंकि

2

$2$ ,

x

$x$ के संबंध में स्थिर है,

x

$x$ के संबंध में

2 x

$2 x$ का व्युत्पन्न

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ है, जहाँ

n = 1

$n = 1$ है.

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

चरण 6.1.4

2

$2$ को

1

$1$ से गुणा करें.

2

$2$

2

$2$

चरण 6.2

u

$u$ और

d u

$d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

\frac{1}{2} (x + C - \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (x + C - \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 7

cos (u)

$\cos (u)$ और

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 8

चूँकि

$\frac{1}{2}$ बटे

$u$ अचर है,

$\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

चरण 9

$u$ के संबंध में

$\cos (u)$ का इंटीग्रल

$\sin (u)$ है.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

चरण 10

सरल करें.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को

$2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\sin (2 x)$ और

$\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

चरण 12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

चरण 12.3

$\frac{1}{2}$ और

$x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

चरण 12.4

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

$\frac{1}{2}$ को

$\frac{\sin (2 x)}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

चरण 12.4.2

$2$ को

$2$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$