कैलकुलस उदाहरण

$\sin^{2} (θ)$

चरण 1

$\sin^{2} (θ)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (θ) = \sin^{2} (θ)$

चरण 2

फलन $F (θ)$ को व्युत्पन्न $f (θ)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (θ) = \int \sin^{2} (θ) d θ$

चरण 4

$\sin^{2} (θ)$ को $\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\int \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} d θ$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $θ$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 θ) d θ$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int d θ + \int - \cos (2 θ) d θ)$

चरण 7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (θ + C + \int - \cos (2 θ) d θ)$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $θ$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (2 θ) d θ)$

चरण 9

मान लीजिए $u = 2 θ$ .फिर $d u = 2 d θ$ , तो $\frac{1}{2} d u = d θ$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u = 2 θ$ . $\frac{d u}{d θ}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$2 θ$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

चरण 9.1.2

चूंकि $2$ , $θ$ के संबंध में स्थिर है, $θ$ के संबंध में $2 θ$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ है.

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

चरण 9.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ $n θ^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 9.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 9.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 10

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (θ + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

चरण 12

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{1}{2} (θ + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

चरण 13

सरल करें.

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 14

$u$ की सभी घटनाओं को $2 θ$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (2 θ)) + C$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\sin (2 θ)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (θ - \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

चरण 15.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

चरण 15.3

$\frac{1}{2}$ और $θ$ को मिलाएं.

$\frac{θ}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

चरण 15.4

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{\sin (2 θ)}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{2 \cdot 2} + C$

चरण 15.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{4} + C$

चरण 16

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$

चरण 17

उत्तर फलन $f (θ) = \sin^{2} (θ)$ का व्युत्पन्न है.

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$