कैलकुलस उदाहरण

lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

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चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

चरण 1.1.2

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

चरण 1.1.3

चूँकि घातांक

n

$n$

\infty

$\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान

2^{n}

$2^{n}$

\infty

$\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 1.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 1.2

चूंकि

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

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चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

\frac{d}{d n} [n^{n}]

$\frac{d}{d n} [n^{n}]$

n \cdot n^{n - 1}

$n \cdot n^{n - 1}$ है, जहाँ

n = 1

$n = 1$ है.

lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

चरण 1.3.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

\frac{d}{d n} [a^{n}]

$\frac{d}{d n} [a^{n}]$

a^{n} \ln (a)

$a^{n} \ln (a)$ है, जहाँ

a

$a$ =

2

$2$ है.

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

चरण 2

\frac{1}{\ln (2)}

$\frac{1}{\ln (2)}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह

n

$n$ के संबंध में स्थिर है.

\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}

$\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}$

चरण 3

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न

\frac{1}{2^{n}}

$\frac{1}{2^{n}}$

0

$0$ के करीब पहुंच जाता है.

\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

चरण 4

\frac{1}{\ln (2)}

$\frac{1}{\ln (2)}$ को

0

$0$ से गुणा करें.

0

$0$