कैलकुलस उदाहरण

\int \cos^{2} (y) d y

$\int \cos^{2} (y) d y$

चरण 1

\cos^{2} (y)

$\cos^{2} (y)$ को

\frac{1 + \cos (2 y)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

चरण 2

चूँकि

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ बटे

y

$y$ अचर है,

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

चरण 4

स्थिरांक नियम लागू करें.

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

चरण 5

मान लीजिए

u = 2 y

$u = 2 y$ .फिर

d u = 2 d y

$d u = 2 d y$ , तो

\frac{1}{2} d u = d y

$\frac{1}{2} d u = d y$ .

u

$u$ और

d

$d$

u

$u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें

u = 2 y

$u = 2 y$ .

\frac{d u}{d y}

$\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

2 y

$2 y$ को अवकलित करें.

\frac{d}{d y} [2 y]

$\frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 5.1.2

चूंकि

2

$2$ ,

y

$y$ के संबंध में स्थिर है,

y

$y$ के संबंध में

2 y

$2 y$ का व्युत्पन्न

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ है, जहाँ

n = 1

$n = 1$ है.

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

चरण 5.1.4

2

$2$ को

1

$1$ से गुणा करें.

2

$2$

2

$2$

चरण 5.2

u

$u$ और

d u

$d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 6

\cos (u)

$\cos (u)$ और

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 7

चूँकि

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ बटे

u

$u$ अचर है,

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

चरण 8

u

$u$ के संबंध में

\cos (u)

$\cos (u)$ का इंटीग्रल

\sin (u)

$\sin (u)$ है.

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

चरण 9

सरल करें.

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 10

u

$u$ की सभी घटनाओं को

2 y

$2 y$ से बदलें.

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ और

\sin (2 y)

$\sin (2 y)$ को मिलाएं.

\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

चरण 11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

चरण 11.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ और

y

$y$ को मिलाएं.

\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

चरण 11.4

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ को

\frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{\sin (2 y)}{2}$ से गुणा करें.

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

चरण 11.4.2

2

$2$ को

2

$2$ से गुणा करें.

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

चरण 12

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$