कैलकुलस उदाहरण

$\int \sin (4 x) e^{\cos (4 x)} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \cos (4 x)$ .फिर $d u_{2} = - 4 \sin (4 x) d x$ , तो $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \cos (4 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$\cos (4 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 4 x$ है.

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चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.3.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 4 \sin (4 x) \cdot 1$

चरण 1.1.3.4

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 \sin (4 x)$

चरण 1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

चरण 2.2

$e^{u_{2}}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 5

$u_{2}$ के संबंध में $e^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{2}}$ है.

$- \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

चरण 6

सरल करें.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

चरण 7

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (4 x)$ से बदलें.

$- \frac{1}{4} e^{\cos (4 x)} + C$