कैलकुलस उदाहरण

$\int x \sin (x^{2}) \cos (x^{2}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \sin (x^{2})$ .फिर $d u_{2} = 2 x \cos (x^{2}) d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = x \cos (x^{2}) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \sin (x^{2})$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$\sin (x^{2})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = x^{2}$ है.

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चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 1.1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\cos (x^{2}) (2 x)$

चरण 1.1.3.2

$\cos (x^{2}) (2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$2 x \cos (x^{2})$

चरण 1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 2

$u_{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ को $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 5.2

सरल करें.

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चरण 5.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 5.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 6

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (x^{2})$ से बदलें.

$\frac{1}{4} \sin^{2} (x^{2}) + C$