कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sin (x) \cos (x) d x$

चरण 1

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (x) \cos (x) d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = \sin (x)$ .फिर $d u = \cos (x) d x$ , तो $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = \sin (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\sin (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 2.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\cos (x)$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = \sin (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sin (0)$

चरण 2.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = \sin (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{4})$

चरण 2.5

$\sin (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u d u$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

चरण 4

$\frac{1}{2}$ और $u^{2}$ को मिलाएं.

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ पर और $0$ पर $\frac{u^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$4 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

चरण 5.2.2

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

चरण 5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

चरण 5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

चरण 5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

चरण 5.2.2.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - 0)$

चरण 5.2.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} + 0)$

चरण 5.2.4

$\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$4 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2) \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

चरण 6.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot 2 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

चरण 6.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

चरण 6.2

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{2}}{2}$ पर लागू करें.

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

चरण 6.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$2^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

चरण 6.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

चरण 6.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

चरण 6.4

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

चरण 6.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

चरण 6.4.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

चरण 6.4.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

चरण 6.4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2^{1}}{2}$

चरण 6.4.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{2}{2}$

चरण 6.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$1$