कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

चरण 1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = \sec (x)$ .फिर $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , तो $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = \sec (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\sec (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

चरण 2.1.2

$x$ के संबंध में $\sec (x)$ का व्युत्पन्न $\sec (x) \tan (x)$ है.

$\sec (x) \tan (x)$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = \sec (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sec (0)$

चरण 2.3

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = \sec (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$\sec (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{2}{\sqrt{2}}$ है.

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

चरण 2.5.2

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

चरण 2.5.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

चरण 2.5.3.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

चरण 2.5.3.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

चरण 2.5.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

चरण 2.5.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 2.5.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 2.5.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 2.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 2.5.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 2.5.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

चरण 2.5.3.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

चरण 2.5.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

चरण 2.5.4.2

$\sqrt{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$u_{upper} = \sqrt{2}$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int_{1}^{\sqrt{2}} u d u$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

चरण 4

$\frac{1}{2}$ और $u^{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\sqrt{2}$ पर और $1$ पर $\frac{u^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$2 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

चरण 5.2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

चरण 5.2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

चरण 5.2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

चरण 5.2.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (\frac{2^{1}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

चरण 5.2.1.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

चरण 5.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

चरण 5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (1 - \frac{1^{2}}{2})$

चरण 5.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$2 (1 - \frac{1}{2})$

चरण 5.2.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

चरण 5.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

चरण 5.2.6

$2$ में से $1$ घटाएं.

$2 (\frac{1}{2})$

चरण 5.2.7

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2}$

चरण 5.2.8

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2}$

चरण 5.2.8.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1$