कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \tan (x)$ .फिर $d u = \sec^{2} (x) d x$ , तो $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = \tan (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$\tan (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है.

$\sec^{2} (x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \tan (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \tan (0)$

चरण 1.3

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \tan (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

चरण 1.5

$\tan (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{1} u^{3} d u$

चरण 2

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{1}$

चरण 3

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

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चरण 3.1

$1$ पर और $0$ पर $\frac{1}{4} u^{4}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

चरण 3.2

सरल करें.

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चरण 3.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

चरण 3.2.2

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

चरण 3.2.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0$

चरण 3.2.4

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4})$

चरण 3.2.5

$0$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} + 0$

चरण 3.2.6

$\frac{1}{4}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{4}$

चरण 4

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{4}$

दशमलव रूप:

$0.25$