कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \frac{\sec^{2} (2 x)}{3 + \tan (2 x)} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .फिर $d u_{2} = 2 \sec^{2} (2 x) d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec^{2} (2 x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 + \tan (2 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 + \tan (2 x)]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 + \tan (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \tan (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.3.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\tan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u_{1})$ है.

$0 + \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$0 + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

चरण 1.1.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

चरण 1.1.3.5

$2$ को $\sec^{2} (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 + 2 \sec^{2} (2 x)$

चरण 1.1.4

$0$ और $2 \sec^{2} (2 x)$ जोड़ें.

$2 \sec^{2} (2 x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 3 + \tan (2 \cdot 0)$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 3 + \tan (0)$

चरण 1.3.1.2

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 3 + 0$

चरण 1.3.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 3$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{8})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 (4)})$

चरण 1.5.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 4})$

चरण 1.5.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = 3 + \tan (\frac{π}{4})$

चरण 1.5.1.2

$\tan (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 3 + 1$

चरण 1.5.2

$3$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 4$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

चरण 1.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

चरण 2.2

$2$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{3}^{4} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{3}^{4}$

चरण 5

$4$ पर और $3$ पर $\ln (| u_{2} |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

चरण 6.2

$\frac{1}{2}$ और $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $4$ के बीच की दूरी $4$ है.

$\frac{\ln (\frac{4}{| 3 |})}{2}$

चरण 7.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $3$ के बीच की दूरी $3$ है.

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

दशमलव रूप:

$0.14384103 \dots$