कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{- 6} (2 x) \sin (2 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \cos (2 x)$ .फिर $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \cos (2 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\cos (2 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

चरण 1.1.3.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (2 x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{2} = \cos (2 x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \cos (0)$

चरण 1.3.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{2} = \cos (2 x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

चरण 1.5.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

चरण 1.5.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

चरण 1.5.2

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

चरण 1.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 6} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 6} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

चरण 2.2

${u_{2}}^{- 6}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{{u_{2}}^{- 6}}{2} d u_{2}$

चरण 2.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${u_{2}}^{- 6}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{6}} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{6}} d u_{2}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{6}} d u_{2})$

चरण 5

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

${u_{2}}^{6}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{6})}^{- 1} d u_{2}$

चरण 5.2

घातांक को ${({u_{2}}^{6})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{6 \cdot - 1} d u_{2}$

चरण 5.2.2

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 6} d u_{2}$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{- 6}$ का समाकलन $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ है.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ पर और $1$ पर $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{2} ((- \frac{1}{5} {(\frac{1}{2})}^{- 5}) + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

आधार को उसके व्युत्क्रम के रूप में फिर से लिखकर घातांक के चिह्न को बदलें.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{5} \cdot 2^{5} + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

चरण 7.2.2

$2$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{5} \cdot 32 + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

चरण 7.2.3

$32$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} (- 32 (\frac{1}{5}) + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

चरण 7.2.4

$- 32$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{2} (\frac{- 32}{5} + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

चरण 7.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{2} (- \frac{32}{5} + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

चरण 7.2.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{1}{2} (- \frac{32}{5} + \frac{1}{5} \cdot 1)$

चरण 7.2.7

$\frac{1}{5}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} (- \frac{32}{5} + \frac{1}{5})$

चरण 7.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 32 + 1}{5}$

चरण 7.2.9

$- 32$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{5}$

चरण 7.2.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{2} (- \frac{31}{5})$

चरण 7.2.11

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{2}) \frac{31}{5}$

चरण 7.2.12

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{31}{5}$

चरण 7.2.13

$\frac{1}{2}$ को $\frac{31}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{31}{2 \cdot 5}$

चरण 7.2.14

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{31}{10}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{31}{10}$

दशमलव रूप:

$3.1$

मिश्रित संख्या रूप:

$3 \frac{1}{10}$