कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \cos (2 x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \cos (2 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (\frac{1}{2} \sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin (2 x)$ को मिलाएं.

$x \frac{\sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

चरण 2.2

$x$ और $\frac{\sin (2 x)}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) d x)$

चरण 4

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 4.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 4.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 4.2

$x$ के लिए $u = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 4.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$x$ के लिए $u = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

चरण 4.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

चरण 4.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

चरण 4.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 4.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 4.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 5

$\sin (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

चरण 7.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

चरण 8

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$\frac{x \sin (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

चरण 9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{π}{4}$ पर और $0$ पर $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

चरण 9.2

$\frac{π}{2}$ पर और $0$ पर $- \cos (u)$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{\frac{π}{4} \sin (2 \frac{π}{4})}{2}) - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$2$ और $\frac{π}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.2

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 (π)}{4})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{π}{2})}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.3

$\frac{π}{4}$ और $\sin (\frac{π}{2})$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.4

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}{2}$ को फिर से लिखें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.5

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4 \cdot 2} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.6

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.7

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0 \sin (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.8

$0$ को $\sin (0)$ से गुणा करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.9

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.9.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.9.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.9.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.10

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.11

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

चरण 9.3.12

$- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{8}{8}$

चरण 9.3.13

$- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ और $\frac{8}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{8} + \frac{- \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

चरण 9.3.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 8}{8}$

चरण 9.3.15

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 8 (\frac{1}{4}) (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

चरण 9.3.16

$- 8$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 8}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

चरण 9.3.17

$- 8$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.17.1

$- 8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

चरण 9.3.17.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.17.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

चरण 9.3.17.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

चरण 9.3.17.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{1} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

चरण 9.3.17.2.4

$- 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{8}$

चरण 10.2

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{8}$

चरण 10.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{8}$

चरण 10.4

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{8}$

चरण 10.5

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{8}$

चरण 10.6

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{π - 2 \cdot 1}{8}$

चरण 10.7

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{π - 2}{8}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π - 2}{8}$

दशमलव रूप:

$0.14269908 \dots$