कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \tan^{2} (\frac{π}{4} y) d y$

चरण 1

मान लीजिए $u = \frac{π}{4} y$ .फिर $d u = \frac{π}{4} d y$ , तो $\frac{4}{π} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = \frac{π}{4} y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{π}{4} y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{π}{4} y]$

चरण 1.1.2

चूंकि $\frac{π}{4}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{π}{4} y$ का व्युत्पन्न $\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{π}{4} \cdot 1$

चरण 1.1.4

$\frac{π}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{π}{4}$

चरण 1.2

$y$ के लिए $u = \frac{π}{4} y$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \frac{π}{4} \cdot 0$

चरण 1.3

$\frac{π}{4}$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$y$ के लिए $u = \frac{π}{4} y$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \frac{π}{4} \cdot 1$

चरण 1.5

$\frac{π}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{π}{4}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) (1 \frac{4}{π}) d u$

चरण 2.2

$\frac{4}{π}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{4}{π} d u$

चरण 2.3

$\tan^{2} (u)$ और $\frac{4}{π}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{2} (u) \cdot 4}{π} d u$

चरण 2.4

$4$ को $\tan^{2} (u)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{4 \tan^{2} (u)}{π} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{4}{π}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{4}{π}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) d u$

चरण 4

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (u)$ को $- 1 + \sec^{2} (u)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{4}{π} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

चरण 7

चूंकि $\tan (u)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u)$ है, $\sec^{2} (u)$ का समाकलन $\tan (u)$ है.

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

चरण 8

$- u]_{0}^{\frac{π}{4}}$ और $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{π} - u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

चरण 9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{π}{4}$ पर और $0$ पर $- u + \tan (u)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{4}{π} ((- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0)))$

चरण 9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0)))$

चरण 9.2.2

$0$ और $\tan (0)$ जोड़ें.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\tan (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0))$

चरण 10.2

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - 0)$

चरण 10.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 + 0)$

चरण 10.4

$- \frac{π}{4} + 1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1)$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4}) + \frac{4}{π} \cdot 1$

चरण 11.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$- \frac{π}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

चरण 11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

चरण 11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π} (- π) + \frac{4}{π} \cdot 1$

चरण 11.3

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$- π$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

चरण 11.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

चरण 11.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 + \frac{4}{π} \cdot 1$

चरण 11.4

$\frac{4}{π}$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 + \frac{4}{π}$

चरण 12

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- 1 + \frac{4}{π}$

दशमलव रूप:

$0.27323954 \dots$