कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \frac{1}{4 x + 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 4 x + 1$ .फिर $d u = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 4 x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$4 x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 + 0$

चरण 1.1.4.2

$4$ और $0$ जोड़ें.

$4$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 4 x + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 1.3.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 4 x + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 4 + 1$

चरण 1.5.2

$4$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 5$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

चरण 2.2

$4$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{1}^{5} \frac{1}{4 u} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

चरण 5

$5$ पर और $1$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

चरण 6.2

$\frac{1}{4}$ और $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $5$ के बीच की दूरी $5$ है.

$\frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

चरण 7.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

चरण 7.3

$5$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\ln (5)}{4}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{\ln (5)}{4}$

दशमलव रूप:

$0.40235947 \dots$

चरण 9