कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

चरण 1

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{0}^{1} \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

चरण 2

मान लीजिए $u = 1 + t^{2}$ .फिर $d u = 2 t d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = t d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = 1 + t^{2}$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$1 + t^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 + t^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ है.

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 2.1.3

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

चरण 2.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 t$

चरण 2.1.5

$0$ और $2 t$ जोड़ें.

$2 t$

चरण 2.2

$t$ के लिए $u = 1 + t^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 2.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 2.4

$t$ के लिए $u = 1 + t^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + 1^{2}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1 + 1$

चरण 2.5.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 3.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

चरण 5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

चरण 5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

चरण 5.3

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

चरण 6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

चरण 7

$2$ पर और $1$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

चरण 8

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

चरण 9.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\ln (\frac{2}{1})$

चरण 9.3

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (2)$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\ln (2)$

दशमलव रूप:

$0.69314718 \dots$

चरण 11